Identifique e esboce as curvas:
(3) x^2+6 y^2-2 x=1-3 y

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
x^2+6y^2-2x=1-3y
Esse é um problema de identificação de cônicas: vamos usar completamento de quadrados para escrever em forma padrão.

Passo 2

Primeiro, trago todos os termos para o mesmo lado:
x^2-2x+6y^2+3y-1=0
Isso facilita o completamento de quadrados em x e em y.

Passo 3

Faço o completamento de quadrado em x:
x^2-2x=(x-1)^2-1
E em y, fatorando 6:
6y^2+3y=6l(y^2+tfrac12yr)=6l((y+tfrac14)^2-tfrac116r)=6(y+tfrac14)^2-tfrac616

Passo 4

Substituo de volta e junto os termos constantes:
(x-1)^2-1+6(y+tfrac14)^2-tfrac616-1=0
Somando -1 -tfrac616-1=-2-tfrac38=-tfrac198, vem
(x-1)^2+6(y+tfrac14)^2=tfrac198

Passo 5

Dividindo ambos os lados por tfrac198 para obter a forma padrão:
(x-1)^219/8+6(y+tfrac14)^219/8=1
visto que tfrac619/8=tfrac4819, reescrevo como
(x-1)^219/8+(y+tfrac14)^219/48=1

Passo 6

Essa é a equação de uma elipse com centro em (1,-tfrac14), semieixo maior horizontal de comprimento a=raiztfrac198 e semieixo menor vertical de comprimento b=raiztfrac1948. No esboço, basta marcar o centro e desenhar a elipse alongada no eixo x.

Resposta

Elipse de centro em (1,-tfrac14), semieixo horizontal a=raiz19/8 e semieixo vertical b=raiz19/48.

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