Identifique e esboce as curvas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar e desenhar a curva definida pela equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de seções cônicas, especificamente sobre hiperbolas. Precisaremos reorganizar a equação para entender melhor a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da curva. Começamos isolando os termos semelhantes:
Agora, vamos completar o quadrado para o termo que envolve
. Isso vai nos ajudar a escrever a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 3
Para completar o quadrado no termo
, seguimos esses passos:
- Pegue o coeficiente de
, que é 3, divida por 2 e depois eleve ao quadrado: . - Adicione e subtraia esse valor na equação:
Isso nos dá:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole, que é:
Dividindo ambos os lados da equação por
:
Isso mostra que temos uma hipérbole com:
- Centro em
- a² = \frac{17}{4} então a = \frac{\sqrt{17}}{2}
- b² = \frac{17}{4} então b = \frac{\sqrt{17}}{2}
Passo 5
Para desenhar a hipérbole, precisamos também das assíntotas, que são retas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. As assíntotas para a forma padrão são dadas por:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Então, as assíntotas são:
Resposta
A curva definida por
é uma hipérbole com centro em
, assíntotas nas retas
e
, e abre-se para os lados esquerdo e direito. Para desenhar, plote o centro, trace as assíntotas e desenhe a hipérbole se aproximando dessas linhas sem tocá-las.