Identifique e esboce as curvas:
(1) x^2-y^2+3 x=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar e desenhar a curva definida pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de seções cônicas, especificamente sobre hiperbolas. Precisaremos reorganizar a equação para entender melhor a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da curva. Começamos isolando os termos semelhantes:
x^2 + 3x - y^2 = 2
Agora, vamos completar o quadrado para o termo que envolve . Isso vai nos ajudar a escrever a equação na forma padrão da hipérbole.

Passo 3

Para completar o quadrado no termo x^2 + 3x + 94 - 94 - y^2 = 2 , seguimos esses passos:
  1. Pegue o coeficiente de (x + 32)^2 - y^2 = 2 + 94 , que é 3, divida por 2 e depois eleve ao quadrado: (x + 32)^2 - y^2 = 174 .
  2. Adicione e subtraia esse valor na equação:
Isso nos dá:
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole, que é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Dividindo ambos os lados da equação por (x + 32)^2174 - y^2174 = 1 :
Isso mostra que temos uma hipérbole com:
  • Centro em
  • a² = \frac{17}{4} então a = \frac{\sqrt{17}}{2}
  • b² = \frac{17}{4} então b = \frac{\sqrt{17}}{2}

Passo 5

Para desenhar a hipérbole, precisamos também das assíntotas, que são retas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. As assíntotas para a forma padrão são dadas por:
y = k pm ba(x - h)
Substituindo os valores que encontramos:
y = 0 pm raiz172raiz172 (x + 32)
Simplificando:
y = pm (x + 32)
Então, as assíntotas são:
y = x + 32 e y = -x - 32

Resposta

A curva definida por é uma hipérbole com centro em , assíntotas nas retas e , e abre-se para os lados esquerdo e direito. Para desenhar, plote o centro, trace as assíntotas e desenhe a hipérbole se aproximando dessas linhas sem tocá-las.

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