Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla . Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar uma função em três dimensões (, , ) seguindo os limites dados. Vamos precisar integrar primeiro em , depois em e por último em .
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral mais interna é . Aqui, é tratado como uma constante em relação a . A antiderivada de em relação a é simplesmente . Então, calculamos:
Passo 3
Agora, temos uma expressão simplificada para substituir na integral dupla: x - x^3 - 2x y. Vamos integrar essa expressão em relação a y, com limites de 0 a 1 - x:
integral0^1-x (x - x^3 - 2x y) , dy
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1-x x , dy = x cdot y |0^1-x = x(1 - x) - x(0) = x - x^2
integral0^1-x x^3 , dy = x^3 cdot y |0^1-x = x^3(1 - x) - x^3(0) = x^3 - x^4
integral0^1-x 2x y , dy = 2x cdot y^22 |0^1-x = x(1 - x)^2 - x(0)^2 = x(1 - 2x + x^2) = x - 2x^2 + x^3