Calcule integral0^1 integral0^1-x integral2 y^1-x^2 x d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla integral0^1 integral0^1-x integral2 y^1-x^2 x , dz , dy , dx. Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar uma função em três dimensões ( x, y, z) seguindo os limites dados. Vamos precisar integrar primeiro em z, depois em y e por último em x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A integral mais interna é integral2 y^1-x^2 x , dz. Aqui, x é tratado como uma constante em relação a z. A antiderivada de x em relação a z é simplesmente x cdot z. Então, calculamos:
integral2 y^1-x^2 x , dz = x cdot z |2 y^1-x^2 = x(1 - x^2) - x(2 y) = x - x^3 - 2x y

Passo 3

Agora, temos uma expressão simplificada para substituir na integral dupla: x - x^3 - 2x y. Vamos integrar essa expressão em relação a y, com limites de 0 a 1 - x:
integral0^1-x (x - x^3 - 2x y) , dy
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^1-x x , dy = x cdot y |0^1-x = x(1 - x) - x(0) = x - x^2
  2. integral0^1-x x^3 , dy = x^3 cdot y |0^1-x = x^3(1 - x) - x^3(0) = x^3 - x^4
  3. integral0^1-x 2x y , dy = 2x cdot y^22 |0^1-x = x(1 - x)^2 - x(0)^2 = x(1 - 2x + x^2) = x - 2x^2 + x^3
Agora, juntando tudo:
(x - x^2) - (x^3 - x^4) - (x - 2x^2 + x^3) = x - x^2 - x^3 + x^4 - x + 2x^2 - x^3 = (0) + (x^2) - 2x^3 + x^4
Simplificando, temos:
x^2 - 2x^3 + x^4

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a x, com limites de 0 a 1:
integral0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral x^2 , dx = x^33
  2. integral -2x^3 , dx = -2 cdot x^44 = -x^42
  3. integral x^4 , dx = x^55
Agora, avaliamos de 0 a 1:
[ x^33 - x^42 + x^55 ]0^1 = ( 13 - 12 + 15 ) - ( 0 - 0 + 0 ) = 13 - 12 + 15
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
13 = 1030, 12 = 1530, 15 = 630
Então:
1030 - 1530 + 630 = 10 - 15 + 630 = 130

Resposta

A integral tripla vale dfrac130.

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