Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule: cos (arcsen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para simplificar e calcular . Esse problema envolve trigonometria e funções inversas, especificamente o arco seno e o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e entender como essas funções se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A função arco seno, ou , pega um valor arcsen,x entre -1 e 1 e retorna um ângulo arcsen cujo seno é x. Ou seja, se , então .

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Usando a definição acima, isso é igual a cos(arcsen,x). Para encontrar cos,theta, sabemos que em um triângulo retângulo, cos,theta.

Passo 4

Sabemos que . Vamos assumir que a hipotenusa é 1 (já que ). Então, o cateto oposto é sen,theta = cateto opostohipotenusa = x e o cateto adjacente pode ser encontrado usando o Teorema de Pitágoras:
sen,theta = x

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do cosseno:
cos,theta = raiz1 - x^21 = raiz1 - x^2

Resposta

Portanto, .

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