Dê o volume do sólido delimitado pelo plano xy, pelo eixo theta x e pelas retas y=2 e x=1 e pelo plano z=x+y+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está limitado por alguns elementos específicos: o plano $ xy $, o eixo $ x $, as retas $ y=2 $ e $ x=1 $, e o plano $ z = x + y + 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes de sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. No plano $ xy $, temos as retas $ y=2 $ e $ x=1 $, além do eixo $ x $ (que é a linha onde $ y=0 $). Vamos desenhar essa região para visualizar melhor. É um retângulo que vai de $ x=0 $ a $ x=1 $ e de $ y=0 $ a $ y=2 $.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o volume como uma integral dupla sobre essa região. O volume $ V $ pode ser calculado integrando a função que representa a altura do sólido, que no caso é $ z = x + y + 1 $, sobre a área da base no plano $ xy $. A fórmula fica assim:
V

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Substituindo os limites:
integraly=0^2 (x + y + 1) , dy = [ xy + y^22 + y ]0^2
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $:
= ( x(2) + (2)^22 + 2 ) - ( x(0) + (0)^22 + 0 ) = 2x + 2 + 2 = 2x + 4
Substituindo os limites:
x

Resposta

O volume do sólido é 5 unidades cúbicas.

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