Dê o volume do sólido delimitado pelo plano
, pelo eixo
e pelas retas
e
e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está limitado por alguns elementos específicos: o plano $ xy $, o eixo $ x $, as retas $ y=2 $ e $ x=1 $, e o plano $ z = x + y + 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes de sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. No plano $ xy $, temos as retas $ y=2 $ e $ x=1 $, além do eixo $ x $ (que é a linha onde $ y=0 $). Vamos desenhar essa região para visualizar melhor. É um retângulo que vai de $ x=0 $ a $ x=1 $ e de $ y=0 $ a $ y=2 $.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o volume como uma integral dupla sobre essa região. O volume $ V $ pode ser calculado integrando a função que representa a altura do sólido, que no caso é $ z = x + y + 1 $, sobre a área da base no plano $ xy $. A fórmula fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Substituindo os limites:
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é 5 unidades cúbicas.