Derive a função f(x)=a^e^x, onde a>0, a neq 1, x in R.
f^prime(x)=(ln (a)) a^ln (e^x)

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função f(x)=a{e{x}}, com a>0 e a≠1. O conteúdo principal aqui é a derivada de uma potência de base constante e a aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para facilitar a conta, reescrevemos f(x) em termos de exponencial natural:
f(x)=a^e^x=e^e^xln(a)

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de uma exponencial: se h(x)=e^{g(x)}, então h’(x)=e^{g(x)}\cdot g’(x). Aqui g(x)=e^{x}\ln(a).
Calculamos g’(x) usando regra da cadeia:
g'(x)=ddxl(e^xln(a)r)=e^xln(a)

Passo 4

Substituindo em h’(x), temos
f'(x)=e^e^xln(a)cdotl(e^xln(a)r)

Passo 5

Finalmente, voltamos à forma original de f(x): como e{e{x}\ln(a)}=a{e{x}}, a derivada fica
f'(x)=a^e^x,e^xln(a)

Resposta

f'(x)=a^e^x,e^xln(a)

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