Calcule integral0^1 integral0^1 integral0^1 e^x+y+z d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla integral0^1 integral0^1 integral0^1 e^x+y+z , dz , dy , dx. Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos usar integrações iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez enquanto trata as outras como constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $. Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes. A função a integrar é $ e^{x+y+z} $. A integral de $ e^{z} $ em relação a $ z $ é $ e^{z} $, então:
z

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $. A expressão que temos é $ e^{x+y} (e - 1) $. Como $ (e - 1) $ é uma constante, podemos tirar para fora da integral:
y
A integral de $ e^{y} $ em relação a $ y $ é $ e^{y} $, então:
e^x+y (e - 1)

Passo 4

Por fim, vamos integrar o resultado em relação a $ x $. A expressão que temos é $ (e - 1)^2 e^{x} $. Novamente, $ (e - 1)^2 $ é uma constante:
x
A integral de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é $ e^{x} $, então:
(e - 1)^2 e^x

Resposta

A integral tripla vale (e - 1)^3.

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