Considere a equação diferencial abaixo
Resolva a equação homogênea
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea que é $ y’’ + 3y = 0 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções gerais para esse tipo de equação quando não tem um termo forçado, ou seja, quando $ f(x) = 0 $.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação característica associada à equação diferencial homogênea. Para uma equação da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 3 $, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Resolvendo para $ r $:
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, onde $ i^2 = -1 $.
Passo 4
Quando os valores de $ r $ são complexos, como no nosso caso ($ r = \pm i\sqrt{3} $), a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
Onde $ \alpha $ é a parte real de $ r $ e $ \beta $ é a parte imaginária.
Passo 5
No nosso caso, os valores de $ r $ são $ \pm i\sqrt{3} $, o que significa que $ \alpha = 0 $ e $ \beta = \sqrt{3} $. Substituindo esses valores na fórmula da solução geral, temos:
Como $ e^{0 \cdot x} = 1 $, simplificamos para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea $ y’’ + 3y = 0 $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.