Questão 3. (2 pontos) Resolva o PVI abaixo, reduzindo a EDO de segunda ordem a uma EDO de primeira ordem, utilizando a mudança da variável p(y)=y^prime como função de y. Determine o intervalo máximo de definição da solução do PVI.
2 y y^prime prime=3(y^prime)^2 y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o PVI de segunda ordem
2,y,y'' = 3,(y')^2, y(0)=1,;y'(0)=2
e pede para reduzir a ordem usando a mudança de variável
p(y)=y'.
O conteúdo aqui é usar a regra da cadeia para escrever
y'' = dpdx = dpdy,dydx = p,dpdy,
transformando a EDO de segunda ordem numa de primeira ordem em (p,y).

Passo 2

Substituindo y''=p,dp/dy na equação original obtemos
2,y,p,dpdy = 3,p^2
Como na solução procurada p=y' não é identicamente zero (pois p(0)=2), podemos dividir por p e separar variáveis:
2,y,dpdy = 3,p Longrightarrow dpp = 32,dyy
Integrando ambos os lados:
integral dpp = 32integral dyy Longrightarrow ln|p| = 32ln|y| + C1 Longrightarrow p = k,y^3/2,
onde k=e^C1 é constante.

Passo 3

Voltando à notação original, y'=p=k,y^3/2.
Esta é uma EDO de primeira ordem separável:
dydx = k,y^3/2 Longrightarrow y^-3/2,dy = k,dx
Integramos:
integral y^-3/2 dy = integral k,dx Longrightarrow -2,y^-1/2 = k,x + C2,
onde C2 é nova constante de integração.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar k e C2.
Em x=0,
;y(0)=1
-2cdot 1^-1/2 = C2 ;Longrightarrow; C2 = -2
Em x=0, y'(0)=2 e da fórmula y'=k,y^3/2 temos
2 = kcdot 1^3/2 ;Longrightarrow; k = 2
Logo a relação integrada fica
-2,y^-1/2 = 2,x - 2 Longrightarrow y^-1/2 = 1 - x Longrightarrow y(x) = (1 - x)^-2

Passo 5

Para que y(x) seja bem definida precisamos de 1 - x neq 0. Como a condição inicial está em x=0, o maior intervalo em que a solução existe e é única é aquele que contém 0 e não atinge x=1. Portanto o intervalo máximo de definição é
(-infty,,1)

Resposta

y(x) = (1 - x)^-2, xin(-infty,1)

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