Questão 3. (2 pontos) Resolva o PVI abaixo, reduzindo a EDO de segunda ordem a uma EDO de primeira ordem, utilizando a mudança da variável
como função de
. Determine o intervalo máximo de definição da solução do PVI.
Passo 1
O enunciado dá o PVI de segunda ordem
e pede para reduzir a ordem usando a mudança de variável
.
O conteúdo aqui é usar a regra da cadeia para escrever
O conteúdo aqui é usar a regra da cadeia para escrever
transformando a EDO de segunda ordem numa de primeira ordem em
.
Passo 2
Substituindo
na equação original obtemos
Como na solução procurada
não é identicamente zero (pois
), podemos dividir por
e separar variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante.
Passo 3
Voltando à notação original,
.
Esta é uma EDO de primeira ordem separável:
Esta é uma EDO de primeira ordem separável:
Integramos:
onde
é nova constante de integração.
Passo 4
Usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Em ,
dá
Em
Em
,
e da fórmula
temos
Logo a relação integrada fica
Passo 5
Para que
seja bem definida precisamos de
. Como a condição inicial está em
, o maior intervalo em que a solução existe e é única é aquele que contém
e não atinge
. Portanto o intervalo máximo de definição é