sendo a região limitada por .
[Dica: use uma mudança de coordenadas conveniente]
Assinale a alternativa correta.
e.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla , onde é o triângulo delimitado por , e . O conteúdo é integração dupla e mudança de variáveis, e vamos precisar de uma transformação que simplifique o integrando.
Passo 2
Para simplificar e , usamos a mudança de variáveis
Nesse caso, o integrando vira .
Passo 3
Calcule o jacobiano da transformação:
A matriz jacobiana dá , logo .
Passo 4
Descreva a região em (u,v):
y=0 implica v - u = 0 ou u = v.
y=x implica u = 0.
x+y=pi/4 implica v = pi/4.
Além disso y>=0 e y<= x garantem 0 <= u <= v. Assim
v vai de 0 a pi4,
u vai de 0 a v
Passo 5
Monte a integral em (u,v):
integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA = integralv=0^pi/4integralu=0^v sin ucos vcdot 12,du,dv
Isso é
12integral0^pi/4 1cos vl(integral0^vsin u,dur)dv
Passo 6
Calcule integral0^vsin u,du = 1 - cos v. Logo o integrando em v fica
1-cos vcos v = sec v - 1
Então
12integral0^pi/4(sec v - 1),dv = 12l[integral0^pi/4sec v,dv - integral0^pi/41,dvr]