integral duplaR sin (x-y)cos (x+y) d A
sendo R a região limitada por y=0, y=x, x+y=pi / 4.
[Dica: use uma mudança de coordenadas conveniente]
Assinale a alternativa correta.
e. 12[ln (raiz2+1)+pi4]

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA, onde R é o triângulo delimitado por y=0, y=x e x+y=pi/4. O conteúdo é integração dupla e mudança de variáveis, e vamos precisar de uma transformação que simplifique o integrando.

Passo 2

Para simplificar sin(x-y) e cos(x+y), usamos a mudança de variáveis
u = x - y,
v = x + y
Nesse caso, o integrando vira sin ucos v.

Passo 3

Calcule o jacobiano da transformação:
x = v+u2,
y = v-u2
A matriz jacobiana dá det J = 12, logo dA = l|det Jr|,du,dv = tfrac12,du,dv.

Passo 4

Descreva a região em (u,v):
  • y=0 implica v - u = 0 ou u = v.
  • y=x implica u = 0.
  • x+y=pi/4 implica v = pi/4.
    Além disso y>=0 e y<= x garantem 0 <= u <= v. Assim
v vai de 0 a pi4,
u vai de 0 a v

Passo 5

Monte a integral em (u,v):
integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA = integralv=0^pi/4integralu=0^v sin ucos vcdot 12,du,dv
Isso é
12integral0^pi/4 1cos vl(integral0^vsin u,dur)dv

Passo 6

Calcule integral0^vsin u,du = 1 - cos v. Logo o integrando em v fica
1-cos vcos v = sec v - 1
Então
12integral0^pi/4(sec v - 1),dv = 12l[integral0^pi/4sec v,dv - integral0^pi/41,dvr]
Sabendo
integral sec v,dv = lnl|sec v + tan vr|
e
integral0^pi/41,dv = pi4,
temos
integral0^pi/4sec v,dv = ln(raiz2+1)

Passo 7

Substituindo, o valor da integral é
12l[ln(raiz2+1) - pi4r]

Resposta

12l[ln(raiz2+1)-tfracpi4r]

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