(1)Calcule:
integral1^infty d x(2 x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A questão pede para calcular a integral definida de de 1 até o infinito. Para isso, vamos usar o conteúdo de integrais impróprias e técnicas de integração, especificamente a substituição u-substituição para facilitar a integração dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 2x + 1
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 2
Isso significa que:
dx = du2

Passo 3

Agora, substituímos integral dx(2x + 1)^2 = integral du2u^2 = 12 integral u^-2 du e na integral original:

Passo 4

Vamos integrar integral u^-2 du = -u^-1 + C = -1u + C em relação a u:
12 ( -1u ) + C = -12u + C
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos -12(2x + 1) + C de volta na expressão:

Passo 6

Como a integral é definida de 1 até o infinito, precisamos calcular o limite:
integral1^infty dx(2x + 1)^2 = [ -12(2x + 1) ]1^infty

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para limx to infty -12(2x + 1) = 0 :
-12(2 cdot 1 + 1) = -12(3) = -16
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
0 - (-16) = 16

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados