oint|z-1|=2 e^i z d zpi-2 z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o contorno oint|z-1|=2 e^izpi-2z,dz. O conteúdo é o Teorema dos Resíduos, pois temos um polo simples de f(z)=e^iz/(pi-2z) dentro do círculo |z-1|=2.

Passo 2

Primeiro, encontramos o pólo simples resolvendo pi-2z=0, ou seja z0=pi/2. Como |pi/2-1|approx0,57<2, esse pólo está dentro do contorno.

Passo 3

Para calcular o resíduo em z0=pi/2 aplicamos a fórmula para pólo simples:

Passo 4

Agora usamos o Teorema dos Resíduos: a integral é 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Há só esse pólo, logo:

Resposta

pi

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