Calcule
integral1^2 integral0^2 pi y cdot cos (x y) d y d x

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla
integral1^2integral0^2piycos(xy),dy,dx
O conteúdo envolve mudança de ordem de integração e, em especial, integração por partes.

Passo 2

Começamos resolvendo a integral interna em relação a y. Seja
I(x)=integral0^2piycos(xy),dy
Aplicando integração por partes com u=y e dv=cos(xy),dy, temos
du=dy, v=integralcos(xy),dy=1xsin(xy)
Logo,
I(x)=ysin(xy)x|0^2pi-integral0^2pi1xsin(xy),dy
A segunda integral dá
integral0^2pisin(xy),dy=-1xl[cos(xy)r]0^2pi=-1x(cos(2pi x)-1)
Assim,
I(x)=2pisin(2pi x)x+1x^2(cos(2pi x)-1)

Passo 3

Reescrevemos agora a integral externa:
integral1^2I(x),dx=integral1^2l[2pisin(2pi x)x+cos(2pi x)-1x^2r]dx
Observamos que essa expressão é exatamente
-ddxl(cos(2pi x)-1xr)

Passo 4

Definindo
f(x)=cos(2pi x)-1x,
calculamos
f'(x)=-2pisin(2pi x)x-cos(2pi x)-1x^2
e, portanto,
I(x)=-f'(x)

Passo 5

Isso significa
integral1^2I(x),dx=-integral1^2f'(x),dx=-l[f(2)-f(1)r]
Como
f(1)=cos(2pi)-11=0, f(2)=cos(4pi)-12=0,
segue que a integral vale zero.

Resposta

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