Determine a menor distância entre o ponto (0,-1,1) e o plano
x+2 y-z=4
Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a menor distância entre o ponto (0,-1,1) e o plano x + 2y - z = 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que calcula a distância entre um ponto e um plano no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação do plano na forma geral: ax + by + cz + d = 0. Nosso plano é x + 2y - z = 4. Vamos reescrever isso subtraindo 4 de ambos os lados:
x + 2y - z - 4 = 0
Assim, identificamos os coeficientes:
  • a = 1
  • b = 2
  • c = -1
  • d = -4

Passo 3

A fórmula para calcular a distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e um plano ax + by + cz + d = 0 é:
D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2
Vamos usar essa fórmula com os valores que temos.

Passo 4

Substituindo os valores do ponto (0,-1,1) e os coeficientes do plano na fórmula:
D = |1 cdot 0 + 2 cdot (-1) + (-1) cdot 1 + (-4)|raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2

Passo 5

Calculando o numerador:
1 cdot 0 + 2 cdot (-1) + (-1) cdot 1 + (-4) = 0 - 2 -1 -4 = -7
O valor absoluto de -7 é 7.
Calculando o denominador:
raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Resposta

A menor distância entre o ponto (0,-1,1) e o plano x + 2y - z = 4 é dfrac7raiz6 unidades.

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