Encontre os pontos críticos de
f(x, y)=15 cdot(x^5+y^5)-4 cdot(x^2+y^33)+13
Em seguida, classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função:
f(x, y)=15 cdot(x^5+y^5)-4 cdot(x^2+y^33)+13
Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
Simplificando:
x
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
y
Simplificando:
f

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
x^4 - 8x = 0 y^4 - 4y^2 = 0
Vamos resolver cada equação separadamente.
Para $ x $:
x
Isso nos dá:
x^4 - 8x = 0 x(x^3 - 8) = 0
Então, as soluções para $ x $ são $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Para $ y $:
x = 0 ou x^3 = 8 Rightarrow x = 2
Isso nos dá:
x
Então, as soluções para $ y $ são $ y = 0 $, $ y = 2 $ e $ y = -2 $.
Agora, combinando as soluções de $ x $ e $ y $, temos os pontos críticos:
x = 0

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 4x^3 - 8
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 4y^3 - 8y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
A matriz Hessiana ($ H $) é:
H
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
H = fxx & fxy fxy & fyy = 4x^3 - 8 & 0 0 & 4y^3 - 8y
Para classificar:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
  • Se $ D < 0 $, temos um ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
Vamos analisar cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    D
  2. Ponto (0, 2):
    D = (fxx)(fyy) - (fxy)^2 = (4x^3 - 8)(4y^3 - 8y)
  3. Ponto (0, -2):
    D > 0
    Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = -8 < 0 $, temos um máximo local.
  4. Ponto (2, 0):
    fxx > 0
  5. Ponto (2, 2):
    D > 0 í
  6. Ponto (2, -2):
    fxx < 0

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • $ (0, 0) $: Teste inconclusivo
  • $ (0, 2) $: Ponto de sela
  • $ (0, -2) $: Máximo local
  • $ (2, 0) $: Teste inconclusivo
  • $ (2, 2) $: Mínimo local
  • $ (2, -2) $: Ponto de sela

Exercícios relacionados