Encontre os pontos críticos de
Em seguida, classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função:
Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver cada equação separadamente.
Para $ x $:
Isso nos dá:
Então, as soluções para $ x $ são $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Para $ y $:
Isso nos dá:
Então, as soluções para $ y $ são $ y = 0 $, $ y = 2 $ e $ y = -2 $.
Agora, combinando as soluções de $ x $ e $ y $, temos os pontos críticos:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana ($ H $) é:
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
Para classificar:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
- Se $ D < 0 $, temos um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
Vamos analisar cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):
-
Ponto (0, 2):
-
Ponto (0, -2):Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = -8 < 0 $, temos um máximo local.
-
Ponto (2, 0):
-
Ponto (2, 2):
-
Ponto (2, -2):
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
- $ (0, 0) $: Teste inconclusivo
- $ (0, 2) $: Ponto de sela
- $ (0, -2) $: Máximo local
- $ (2, 0) $: Teste inconclusivo
- $ (2, 2) $: Mínimo local
- $ (2, -2) $: Ponto de sela