Calcule
integral1^2 integral0^x integral0^x^2+y^2 z(x^2+y^2)^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integralx=1^2 integraly=0^x integralz=0^x^2+y^2 z(x^2+y^2)^2,dz,dy,dx. Isso envolve integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x. Vamos usar a propriedade de integrais iteradas e lembrar que, ao integrar em z, x e y são tratados como constantes.

Passo 2

Começamos pela integral interna em z:
integral0^x^2+y^2 z(x^2+y^2)^2,dz = 1(x^2+y^2)^2 integral0^x^2+y^2 z,dz = 1(x^2+y^2)^2 [z^22]0^x^2+y^2 = (x^2+y^2)^22,(x^2+y^2)^2 = tfrac12

Passo 3

Agora a integral tripla vira
integralx=1^2 integraly=0^x 12,dy,dx = 12 integralx=1^2 l[integraly=0^x dyr] dx = 12 integral1^2 x,dx

Passo 4

Por fim, integramos em x:
12 integral1^2 x,dx = 12 [x^22]1^2 = 12 l(42-12r) = 12 cdot 32 = 34

Resposta

tfrac34

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