Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integral2 x^1+x integralz^x+2 x d y d z d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla integral0^1integral2x^1+xintegralz^x+2 x,dy,dz,dx. O conteúdo principal é integração iterada (Teorema de Fubini) e vamos precisar executar as integrações na ordem y, depois z e por fim x.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a y:
integraly=z^x+2 x,dy = xl[(x+2)-zr] = x(x+2 - z)

Passo 3

Em seguida, integramos em relação a z:
integralz=2x^1+x x(x+2 - z),dz = xintegral2x^1+x(x+2 - z),dz = xl[ (x+2)z - tfracz^22 r]z=2x^1+x
Calculando a diferença:
(x+2)(1+x)-tfrac(1+x)^22 - l[(x+2)(2x)-tfrac(2x)^22r] = tfrac12x^2 -2x + tfrac32
Logo o resultado parcial é
(1/2)x^3 - 2x^2 + (3/2)x

Passo 4

Por fim, integramos em x de 0 a 1:
integral0^1l(tfrac12x^3 - 2x^2 + tfrac32 xr)dx = l[tfracx^48 - tfrac2x^33 + tfrac3x^24r]0^1 = tfrac18 - tfrac23 + tfrac34 = tfrac524

Resposta

5/24

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