Calcule o volume dos sólidos limitados pelas superfícies de equações dadas
3 x+2 y+z=6, x=0, y=0, z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em primeiro octante limitado pelo plano 3x+2y+z=6 e pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0. O conteúdo aqui é cálculo de volume de um tetraedro formado pelos interceptos desse plano nos eixos.

Passo 2

Para achar os interceptos, fazemos y=0 e z=0 em 3x+2y+z=6, obtendo x=2; análogamente, com x=0,z=0 vem y=3, e com x=0,y=0 vem z=6. Logo, o sólido é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6).

Passo 3

Uma forma padrão de calcular o volume desse tetraedro é usar a fórmula: o volume de um tetraedro cujos interceptos nos eixos são a, b e c é
V=a,b,c6

Passo 4

Aqui temos a=2, b=3 e c=6. Substituindo na fórmula:
V=2times3times66=366=6

Resposta

6

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