Calcule:
integral1^e integral0^y 1x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla: . Isso envolve calcular a integral de uma função que depende de duas variáveis, e , sobre uma região específica. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções racionais e usar técnicas de integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a parte que integra em relação a integral0^y 1x^2+y^2 , dx :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para integrar 1a arctan(xa) + C em relação a , usamos uma fórmula de integração básica. A integral de em relação a é:
onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
integral 1x^2+y^2 , dx = 1y arctan(xy) + C
Agora, vamos calcular essa expressão entre os limites de e .

Passo 5

Substituindo os limites:
1y [ arctan(yy) - arctan(0y) ] = 1y [ arctan(1) - arctan(0) ]
Sabemos que 1y ( pi4 - 0 ) = pi4y e , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^e pi4y , dy
Fatoramos a constante pi4 integral1^e 1y , dy para facilitar a integração:

Passo 7

A integral de pi4 [ ln y ]1^e = pi4 ( ln e - ln 1 ) em relação a pi4 (1 - 0) = pi4 é , então:
Sabemos que e , portanto:

Resposta

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