Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla:
. Isso envolve calcular a integral de uma função que depende de duas variáveis,
e
, sobre uma região específica. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções racionais e usar técnicas de integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a parte que integra em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Para integrar
em relação a
, usamos uma fórmula de integração básica. A integral de
em relação a
é:
onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
Agora, vamos calcular essa expressão entre os limites de
e
.
Passo 5
Substituindo os limites:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Fatoramos a constante
para facilitar a integração:
Passo 7
A integral de
em relação a
é
, então:
Sabemos que
e
, portanto: