Resolva o problema
y^prime prime+12 y^prime+y=de;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução de
y’’ + \tfrac12 y’ + y = δ₁(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0. O conteúdo aqui é resposta ao impulso (função de Green) de um sistema linear de segunda ordem, e vamos precisar usar o método da função de transferência ou diretamente as condições de salto impostas pela delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, estudamos o sistema homogêneo associado
y’’ + \tfrac12 y’ + y = 0.
A equação característica é
r² + \tfrac12 r + 1 = 0,
cuja solução é
r = -\tfrac14 ± i,\tfrac{\sqrt{15}}{4}.
Isso significa que a solução geral homogênea é
y_h(t) = e^{-t/4}\Big(C₁ \cos\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr) + C₂ \sin\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr)\Big).

Passo 3

Em seguida, encontramos a resposta ao impulso h(t) para o lado direito δ(t). Integrando a equação
h’’ + \tfrac12 h’ + h = δ(t)
entre t=0⁻ e t=0⁺ obtemos o salto em h’:
h’(0⁺) - h’(0⁻) = 1,
enquanto h(0)=0 e h’(0⁻)=0. Com isso, ajustamos C₁ e C₂ para que h(0)=0 e h’(0⁺)=1, e encontramos
h(t) = H(t) ;\frac{4}{\sqrt{15}},e^{-t/4}\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\Bigr),
onde H(t) é a função de Heaviside.

Passo 4

Por fim, usamos a propriedade de deslocamento no tempo da delta: δ₁(t)=δ(t-1). A resposta y(t) é simplesmente h(t-1) deslocado e truncado em t=1. Logo,
y(t) = H(t-1);h(t-1)
que dá a solução completa do problema na forma causal.

Resposta

y(t)= 0,&t<1,[6pt]4raiz15,e^-(t-1)/4sinl(tfracraiz154(t-1)r),&t>=1

Exercícios relacionados