Resolva o problema
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução de
y’’ + \tfrac12 y’ + y = δ₁(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0. O conteúdo aqui é resposta ao impulso (função de Green) de um sistema linear de segunda ordem, e vamos precisar usar o método da função de transferência ou diretamente as condições de salto impostas pela delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, estudamos o sistema homogêneo associado
y’’ + \tfrac12 y’ + y = 0.
A equação característica é
r² + \tfrac12 r + 1 = 0,
cuja solução é
r = -\tfrac14 ± i,\tfrac{\sqrt{15}}{4}.
Isso significa que a solução geral homogênea é
y_h(t) = e^{-t/4}\Big(C₁ \cos\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr) + C₂ \sin\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\bigr)\Big).
Passo 3
Em seguida, encontramos a resposta ao impulso h(t) para o lado direito δ(t). Integrando a equação
h’’ + \tfrac12 h’ + h = δ(t)
entre t=0⁻ e t=0⁺ obtemos o salto em h’:
h’(0⁺) - h’(0⁻) = 1,
enquanto h(0)=0 e h’(0⁻)=0. Com isso, ajustamos C₁ e C₂ para que h(0)=0 e h’(0⁺)=1, e encontramos
h(t) = H(t) ;\frac{4}{\sqrt{15}},e^{-t/4}\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}t\Bigr),
onde H(t) é a função de Heaviside.
Passo 4
Por fim, usamos a propriedade de deslocamento no tempo da delta: δ₁(t)=δ(t-1). A resposta y(t) é simplesmente h(t-1) deslocado e truncado em t=1. Logo,
y(t) = H(t-1);h(t-1)
que dá a solução completa do problema na forma causal.
Resposta
y(t)=