Calcule integral1^3 integralpi / 6^y^2 2 y cos x d x d y

Passo 1

Beleza, temos um exercício para calcular uma integral dupla: integral1^3 integralpi / 6^y^2 2 y cos x , dx , dy. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função 2y cos x primeiro em relação a x, depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função 2y cos x em relação a x, mantendo y constante. A integral de cos x em relação a x é sin x, então:
integral 2y cos x , dx = 2y sin x + C
Como temos limites de pi/6 a y^2, aplicamos esses limites:
2y sin(y^2) - 2y sin(pi6)
Sabemos que sin(pi6) = 12, então simplificando:
2y sin(y^2) - 2y cdot 12 = 2y sin(y^2) - y

Passo 3

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a y, no intervalo de 1 a 3:
integral1^3 (2y sin(y^2) - y) dy
Vamos separar a integral:
integral1^3 2y sin(y^2) , dy - integral1^3 y , dy

Passo 4

Primeira integral: integral 2y sin(y^2) , dy. Aqui, usamos uma substituição: seja u = y^2, então du = 2y , dy. Assim, a integral fica:
integral sin u , du = -cos u + C = -cos(y^2) + C
Aplicando os limites de 1 a 3:
-cos(9) + cos(1)
Segunda integral: integral y , dy = y^22 + C. Aplicando os limites:
92 - 12 = 4

Resposta

Juntando tudo, a integral dupla é:
[-cos(9) + cos(1)] - 4
Ou numericamente aproximando:
-cos(9) + cos(1) - 4 approx -(-0.9111) + 0.5403 - 4 approx 0.9111 + 0.5403 - 4 approx -2.5486
Portanto, o valor da integral é aproximadamente -2.55.

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