Calcule os seguintes limites.
* lim x 1 x-1raiz[3]x+7-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limx to 1 x-1raiz[3]x+7-2. O conteúdo é limites de funções e vamos usar a fatoração de diferença de cubos para resolver.

Passo 2

Primeiro, verificamos o tipo de indeterminação. Quando x to 1 temos x-1 to 0 e raiz[3]x+7-2 to raiz[3]8-2 = 2-2 = 0. Então é uma forma 0/0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, usamos a identidade de diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2)

Passo 4

Definindo
a = raiz[3]x+7, b = 2,
vemos que
x-1 = (x+7) - 8 = a^3 - b^3
Assim
$$\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2} = \frac{a^3 - b^3}{a - b} = a^2 + a b + b^2.
$$

Passo 5

Agora basta avaliar em x = 1. Nesse ponto a = raiz[3]8 = 2 e b = 2, logo
a^2 + a b + b^2 = 2^2 + 2cdot2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

12

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