Calcule
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla:
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a expressão para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que $ x $ varia de 1 a 5 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ a 5. Isso descreve uma região triangular no plano $ xy $.
Passo 3
Vamos trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração. Se $ y $ varia de 1 a 5, para cada $ y $, $ x $ varia de 1 a $ y $. Assim, a integral dupla fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
Note que $ y $ e $ \ln y $ são constantes em relação a $ x $, então podemos simplificar:
A integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln x $, então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa é uma integral simples de $ y $ em relação a $ y $. A antiderivada de $ y $ é $ \frac{y^2}{2} $, então:
Resposta
O valor da integral dupla é 12.