Calcule
integral1^5 integralx^5 yx ln y d y d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla:
integral1^5 integralx^5 yx ln y , dy , dx
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que $ x $ varia de 1 a 5 e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ x $ a 5. Isso descreve uma região triangular no plano $ xy $.

Passo 3

Vamos trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração. Se $ y $ varia de 1 a 5, para cada $ y $, $ x $ varia de 1 a $ y $. Assim, a integral dupla fica:
y

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
x
Note que $ y $ e $ \ln y $ são constantes em relação a $ x $, então podemos simplificar:
integral1^y yx ln y , dx
A integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln x $, então:
y

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^5 y , dy
Essa é uma integral simples de $ y $ em relação a $ y $. A antiderivada de $ y $ é $ \frac{y^2}{2} $, então:
y

Resposta

O valor da integral dupla é 12.

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