Calcule as seguintes integrais indefinidas como uma série de potências:
(a) integral t1-t^8 d t
(b) integral x^2 ln (1+x) d x
© integral arctan xx d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular três integrais indefinidas usando séries de potências e integração termo a termo. Vamos precisar das seguintes ferramentas: expansão geométrica para 1/(1 - t^8), série de Taylor de ln(1+x) e de arctan x, e a ideia de integrar cada termo da série.

Passo 2

Para (a), observe que a série geométrica diz que
11 - t^8 = sumn=0^infty t^8n
Multiplicando por t temos
t1 - t^8 = sumn=0^infty t^8n+1
Agora integramos termo a termo:
integral t^8n+1 ,dt = t^8n+28n+2
Logo
integral t1 - t^8 ,dt = sumn=0^infty t^8n+28n+2 + C

Passo 3

Para (b), usamos a expansão de ln(1+x) para |x|<1:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn
Multiplicando por x^2
x^2ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^n+2n
Integrando termo a termo:
integral x^n+2 dx = x^n+3n+3,
então
integral x^2ln(1+x),dx = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^n+3n(n+3) + C

Passo 4

Para ©, recorremos à série de Taylor de arctan x para |x|<1:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1
Dividindo por x temos
arctan xx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2n+1
Integramos termo a termo:
integral x^2n dx = x^2n+12n+1,
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integral arctan xx,dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)^2 + C

Resposta

(a) sumn=0^infty t^8n+28n+2 + C
(b) sumn=1^infty (-1)^n-1 x^n+3n(n+3) + C
© sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)^2 + C

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