Calcule as seguintes integrais indefinidas como uma série de potências:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Nesse exercício vamos calcular três integrais indefinidas usando séries de potências e integração termo a termo. Vamos precisar das seguintes ferramentas: expansão geométrica para
, série de Taylor de
e de
, e a ideia de integrar cada termo da série.
Passo 2
Para (a), observe que a série geométrica diz que
Multiplicando por
temos
Agora integramos termo a termo:
Logo
Passo 3
Para (b), usamos a expansão de
para
:
Multiplicando por
dá
Integrando termo a termo:
então
Passo 4
Para ©, recorremos à série de Taylor de
para
:
Dividindo por
temos
Integramos termo a termo:
logo
Resposta
(a)
(b)
©