Calcule a integral sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
Passo 1
O exercício pede o cálculo da integral dupla
O conteúdo envolve integrais duplas e troca de ordem de integração para facilitar o cálculo. Vamos precisar descrever a região de integração e reescrever a integral invertendo as integrais.
Passo 2
A região de integração R é dada por
No plano xy, isso equivale a 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2x, pois a reta y=2x limita o máximo de y para cada x.
Passo 3
Invertendo a ordem de integração, a integral fica
Passo 4
Primeiro, integramos em y:
Assim a integral reduz-se a
integral0^1 2x^2 e^x^3 ,d x
Passo 5
Para calcular integral0^1 2x^2 e^x^3 ,d x, fazemos a substituição u = x^3, logo du = 3x^2 ,d x e x^2 ,d x = du3. A integral torna-se