Considere a integral
integral0^2 integraly / 2^1 y e^x^3 d x d y
Calcule a integral sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.

Passo 1

O exercício pede o cálculo da integral dupla
integral0^2 integraly / 2^1 y e^x^3 ,d x,d y
O conteúdo envolve integrais duplas e troca de ordem de integração para facilitar o cálculo. Vamos precisar descrever a região de integração e reescrever a integral invertendo as integrais.

Passo 2

A região de integração R é dada por
0 <= y <= 2, y2 <= x <= 1
No plano xy, isso equivale a 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2x, pois a reta y=2x limita o máximo de y para cada x.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, a integral fica
integralx=0^1 integraly=0^2x y e^x^3 ,d y,d x

Passo 4

Primeiro, integramos em y:
integral0^2x y ,d y = y^22|0^2x = (2x)^22 = 2x^2
Assim a integral reduz-se a
integral0^1 2x^2 e^x^3 ,d x

Passo 5

Para calcular integral0^1 2x^2 e^x^3 ,d x, fazemos a substituição u = x^3, logo du = 3x^2 ,d x e x^2 ,d x = du3. A integral torna-se
2 integral0^1 x^2 e^x^3 ,d x = 2 integralu=0^1 e^u du3 = 23 integral0^1 e^u ,d u = 23(e - 1)

Passo 6

Portanto, o valor da integral é 23(e-1).

Resposta

23(e-1)

Exercícios relacionados