Calcule integralC -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y, onde C está contida no semiplano y>0 e é definida por r(t), com 0 <= t <= 1, tal que r(0)=(1,1) e r(1)=(-2,3). GAB: pi4-arctg(-23)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy, onde C é uma curva no semiplano y > 0 que vai do ponto (1,1) até (-2,3). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos. Ela é do tipo integralC -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy. Isso parece com a fórmula para calcular a variação do ângulo theta em coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta.

Passo 3

Em coordenadas polares, sabemos que -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy = dtheta. Ou seja, a nossa integral se simplifica para integralC dtheta, que representa a mudança total do ângulo theta ao longo da curva C.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a diferença entre o ângulo final e o ângulo inicial da curva C. Vamos começar encontrando theta no ponto inicial (1,1). Usando a função tangente inversa:
thetainicial = arctan(yx) = arctan(11) = pi4

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar theta no ponto final (-2,3). Aqui, como x é negativo e y é positivo, estamos no segundo quadrante. Portanto, usamos:
thetafinal = pi - arctan(y-x) = pi - arctan(32)

Passo 6

A mudança total do ângulo De é a diferença entre o ângulo final e o inicial:
De

Passo 7

Simplificando a expressão, temos:
De
Isso porque arctan(32) = -arctan(-23).

Resposta

pi4 - arctan(-23)

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