Calcule
, onde
está contida no semiplano
e é definida por
, com
, tal que
e
. GAB:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é uma curva no semiplano
que vai do ponto
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos. Ela é do tipo
. Isso parece com a fórmula para calcular a variação do ângulo
em coordenadas polares, onde
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, sabemos que
. Ou seja, a nossa integral se simplifica para
, que representa a mudança total do ângulo
ao longo da curva
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a diferença entre o ângulo final e o ângulo inicial da curva
. Vamos começar encontrando
no ponto inicial
. Usando a função tangente inversa:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar
no ponto final
. Aqui, como
é negativo e
é positivo, estamos no segundo quadrante. Portanto, usamos:
Passo 6
A mudança total do ângulo
é a diferença entre o ângulo final e o inicial:
Passo 7
Simplificando a expressão, temos:
Isso porque
.