Encontre a área da região limitada pelas curvas.
e pelo eixo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a área da região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ x = 3 $ e pelo eixo $ x $. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do estudo de integração para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar usar integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre essas curvas. Imagine que temos o gráfico da parábola $ y = x^{2} $, a reta vertical $ x = 3 $ e o eixo $ x $ (que é a linha onde $ y = 0 $). A área que queremos é o espaço que está dentro desses limites.
Passo 3
Para calcular essa área, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a função que define a curva superior menos a função que define a curva inferior, no intervalo de integração. No nosso caso, a curva superior é $ y = x^{2} $ e a curva inferior é o eixo $ x $, que é $ y = 0 $. O intervalo de integração vai de $ x = 0 $ (onde a parábola cruza o eixo $ x $) até $ x = 3 $.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que representa essa área:
A próxima etapa é calcular essa integral. A antiderivada de $ x^{2} $ é $ \frac{1}{3}x^{3} $.
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é igual a 9 unidades de área.