Encontre a área da região limitada pelas curvas.
y=x^2, x=3 e pelo eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a área da região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ x = 3 $ e pelo eixo $ x $. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do estudo de integração para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar usar integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a área entre essas curvas. Imagine que temos o gráfico da parábola $ y = x^{2} $, a reta vertical $ x = 3 $ e o eixo $ x $ (que é a linha onde $ y = 0 $). A área que queremos é o espaço que está dentro desses limites.

Passo 3

Para calcular essa área, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a função que define a curva superior menos a função que define a curva inferior, no intervalo de integração. No nosso caso, a curva superior é $ y = x^{2} $ e a curva inferior é o eixo $ x $, que é $ y = 0 $. O intervalo de integração vai de $ x = 0 $ (onde a parábola cruza o eixo $ x $) até $ x = 3 $.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral que representa essa área:
Área = integral0^3 (x^2 - 0) , dx = integral0^3 x^2 , dx Á
A próxima etapa é calcular essa integral. A antiderivada de $ x^{2} $ é $ \frac{1}{3}x^{3} $.

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
Área = [ 13x^3 ]0^3 = 13(3)^3 - 13(0)^3 = 13(27) - 0 = 9 Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é igual a 9 unidades de área.

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