Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo indicado, da região limitada pelas curvas;
y=x^2 e y=2 x; o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o volume de um sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = 2x $ em torno do eixo $ y $. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente, o cálculo de volumes de sólidos de revolução usando integração. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos discos ou anéis e integração em relação a $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar $ x^2 = 2x $:
x^2 = 2x
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Isso significa que as curvas se interceptam nos pontos $ (0,0) $ e $ (2,4) $.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as funções em termos de $ y $, já que vamos rotacionar em torno do eixo $ y $. Resolvendo $ y = x^2 $ para $ x $:
y
E resolvendo $ y = 2x $ para $ x $:
y
Essas serão as nossas funções limite para a integração.

Passo 4

Vamos usar o método dos discos (também conhecido como método dos anéis) para calcular o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ quando giramos ao redor do eixo $ y $ é:
V
Aqui, $ R(y) $ é a função externa e $ r(y) $ é a função interna em relação ao eixo de rotação.

Passo 5

Identificando $ R(y) $ e $ r(y) $:
  • A função mais externa em relação ao eixo $ y $ é $ x = \sqrt{y} $.
  • A função mais interna é $ x = \frac{y}{2} $.
Portanto:
R(y)
r(y)

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do volume:
V = pi integral0^4 [ (raizy)^2 - ( y2 )^2 ] dy
Simplificando as expressões dentro da integral:
(raizy)^2 = y
( y2 )^2 = y^24
Então, a integral fica:
V = pi integral0^4 ( y - y^24 ) dy

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral0^4 y , dy = [ y^22 ]0^4 = 162 - 0 = 8
integral0^4 y^24 , dy = 14 [ y^33 ]0^4 = 14 ( 643 - 0 ) = 163

Passo 8

Substituindo os resultados na expressão do volume:
V = pi ( 8 - 163 ) = pi ( 243 - 163 ) = pi ( 83 ) = 8pi3

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{8\pi}{3} $ unidades cúbicas.

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