Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo indicado, da região limitada pelas curvas;
e
; o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o volume de um sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = 2x $ em torno do eixo $ y $. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente, o cálculo de volumes de sólidos de revolução usando integração. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos discos ou anéis e integração em relação a $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar $ x^2 = 2x $:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Isso significa que as curvas se interceptam nos pontos $ (0,0) $ e $ (2,4) $.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as funções em termos de $ y $, já que vamos rotacionar em torno do eixo $ y $. Resolvendo $ y = x^2 $ para $ x $:
E resolvendo $ y = 2x $ para $ x $:
Essas serão as nossas funções limite para a integração.
Passo 4
Vamos usar o método dos discos (também conhecido como método dos anéis) para calcular o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ quando giramos ao redor do eixo $ y $ é:
Aqui, $ R(y) $ é a função externa e $ r(y) $ é a função interna em relação ao eixo de rotação.
Passo 5
Identificando $ R(y) $ e $ r(y) $:
- A função mais externa em relação ao eixo $ y $ é $ x = \sqrt{y} $.
- A função mais interna é $ x = \frac{y}{2} $.
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Simplificando as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Substituindo os resultados na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{8\pi}{3} $ unidades cúbicas.