Calcule: integral2^6 raizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma raiz quadrada deslocada, que é conteúdo de cálculo de antiderivadas de funções potenciais. Vamos precisar saber como encontrar a primitiva de (x+1)^1/2 e depois avaliar nos limites de 2 a 6.

Passo 2

Reescrevemos a integral e aplicamos a substituição u = x + 1, de modo a simplificar a raiz. Nesse caso temos:
integral2^6 raizx+1,dx = integralx=2^x=6 (x+1)^1/2,dx
Com u = x+1 e du = dx, quando x=2 então u=3, e quando x=6 então u=7. A integral passa a ser
integral3^7 u^1/2,du

Passo 3

Calculamos a primitiva de u^1/2. Sabendo que integral u^n du = u^n+1n+1 + C, para n=1/2 temos
integral u^1/2 du = u^3/23/2 = 23u^3/2 + C
Portanto a primitiva da nossa integral original é 23(x+1)^3/2.

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva nos limites de 2 a 6:
23(x+1)^3/2|2^6 = 23l((6+1)^3/2 - (2+1)^3/2r) = 23l(7^3/2 - 3^3/2r)

Resposta

23l(7^3/2-3^3/2r)

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