Calcule: integral0^pi^2 cos raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral integral0^pi^2!cos(raizx),dx. O conteúdo principal envolve mudança de variável (substituição) para eliminar a raiz e depois usar integração por partes.

Passo 2

Fazendo a substituição t=raizx, temos x=t^2 e dx=2t,dt. Quando x=0, t=0; quando x=pi^2, t=pi. O integral vira:
integral0^pi^2!cos(raizx),dx = integral0^pi!cos(t),2t,dt = integral0^pi2tcos t,dt

Passo 3

Para resolver integral 2tcos t,dt, usamos integração por partes. Escolhemos
u=2t e dv=cos t,dt. Então
du=2,dt e v=sin t. Pela fórmula integral u,dv = u v - integral v,du, obtemos:
integral 2tcos t,dt = 2tsin t - integral 2sin t,dt = 2tsin t + 2cos t + C

Passo 4

Definindo o antiderivado
F(t)=2tsin t + 2cos t,
avaliamos de 0 a pi:
- Em t=pi: 2pisinpi + 2cospi = 0 - 2 = -2
- Em t=0: 2cdot0sin0 + 2cos0 = 0 + 2 = 2
A diferença é F(pi)-F(0)= -2 - 2 = -4

Resposta

-4

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