Calcule integral8xln(x)d
Dica: use integração por partes com uma escolha adequada para u e dv

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de 8x ln(x) , dx. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções, como nesse caso. Para isso, vamos precisar escolher corretamente as partes u e dv para facilitar a resolução.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma integral complicada em outra mais simples. Agora, precisamos escolher u e dv de forma estratégica.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(x) e dv = 8x , dx
Por quê? Porque derivar ln(x) é simples e a integral de 8x também é fácil de calcular.

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
du = 1x , dx
v = integral 8x , dx = 4x^2

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral 8x ln(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= 4x^2 ln(x) - integral 4x^2 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral 4x^2 cdot 1x , dx = integral 4x , dx = 2x^2

Passo 7

Voltando à expressão principal:
integral 8x ln(x) , dx = 4x^2 ln(x) - 2x^2 + C
Onde C é a constante de integraçãoéçã

Resposta

integral 8x ln(x) , dx = 4x^2 ln(x) - 2x^2 + C

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