Seja
um corte de Dedekind em
definindo
. Prove que existe uma sucessão em ninho
tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a reta real
(ou seja, o conjunto dos números reais) está dividida em um corte de Dedekind
que define o número real
, então existe uma sequência de
intervalos fechados em ninho
cuja interseção é exatamente
, ou seja,
(ou seja, o conjunto dos números reais) está dividida em um corte de Dedekind
intervalos fechados em ninho
O conteúdo principal que vamos usar aqui é a definição de corte de Dedekind (isto
é, ) e a propriedade arquimediana que permite
aproximar por pontos de
e de
.
é,
aproximar
Passo 2
Para cada
, seja
. Pela definição de
, existe
um ponto tal que
um ponto
De modo análogo, como
Isso garante que cada intervalo imaginado teria comprimento menor que
,
bem pequenino.
bem pequenino.
Passo 3
Para impor a propriedade de ninho (
), definimos novas
sequências monotônicas a partir de e
:
sequências monotônicas a partir de
Então:
-
é não decrescente e ainda satisfaz . -
é não crescente e satisfaz .
Passo 4
Definimos finalmente o intervalo fechado
Pelo modo como escolhemos
e
, temos para todo
o que mostra que
é de ninhos (sequência decrescente de conjuntos fechados).
Passo 5
Resta verificar a interseção:
- Qualquer
satisfaz para todo
. Fazendo , vem
e ,
logo. - E
pertence a todo pois .
Assim, como queríamos.
Passo 6
Portanto construímos a sequência em ninho de intervalos fechados
cuja interseção é exatamente o ponto real definido pelo corte de Dedekind.
cuja interseção é exatamente o ponto real
Resposta
A sequência de intervalos
com
e os pontos
,
escolhidos tal que
satisfaz
$$\bigcap_{n=1}^\infty I_n={\alpha}.
$$