Seja (A, B) um corte de Dedekind em R definindo alpha. Prove que existe uma sucessão em ninho (In)n in N tal que
alpha=capn=1^infty In

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a reta real
(ou seja, o conjunto dos números reais) está dividida em um corte de Dedekind
(A,B) que define o número real alpha, então existe uma sequência de
intervalos fechados em ninho
l(Inr)ninN cuja interseção é exatamente
alpha, ou seja,
alpha=capn=1^inftyIn
O conteúdo principal que vamos usar aqui é a definição de corte de Dedekind (isto
é, sup A=inf B=alpha) e a propriedade arquimediana que permite
aproximar alpha por pontos de A e de B.

Passo 2

Para cada ninN, seja varepsilonn=1/n. Pela definição de alpha=sup A, existe
um ponto pnin A tal que
alpha-varepsilonn < pn < alpha
De modo análogo, como alpha=inf B, existe um qnin B tal que
alpha <= qn < alpha+varepsilonn
Isso garante que cada intervalo imaginado teria comprimento menor que 2/n,
bem pequenino.

Passo 3

Para impor a propriedade de ninho ( In+1subset In), definimos novas
sequências monotônicas a partir de pn e qn:
pn'=maxp1,p2,dots,pn,
qn'=minq1,q2,dots,qn
Então:
  • (pn') é não decrescente e ainda satisfaz alpha-1/n.
  • (qn') é não crescente e satisfaz alpha<= qn'.

Passo 4

Definimos finalmente o intervalo fechado
In=[pn',,qn']
Pelo modo como escolhemos pn' e qn', temos para todo n
In+1=[pn+1',qn+1']subset [pn',qn']=In,
o que mostra que (In) é de ninhos (sequência decrescente de conjuntos fechados).

Passo 5

Resta verificar a interseção:
  • Qualquer xincapn=1^infty In satisfaz para todo n
    pn'<= x<= qn'. Fazendo ntoinfty, vem
    x>=sup pn' =alpha e x<=inf qn'=alpha,
    logo x=alpha.
  • E alpha pertence a todo In pois pn'.
    Assim capn=1^infty In=alpha, como queríamos.

Passo 6

Portanto construímos a sequência em ninho de intervalos fechados
cuja interseção é exatamente o ponto real alpha definido pelo corte de Dedekind.

Resposta

A sequência de intervalos
In=[pn',qn'],
com
pn'=maxp1,dots,pn, qn'=minq1,dots,qn,
e os pontos pnin A, qnin B escolhidos tal que
alpha-1/n
satisfaz In+1subset In e
$$\bigcap_{n=1}^\infty I_n={\alpha}.
$$

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