Qual o corte de Dedekind que define
?
Passo 1
O enunciado pede para descrever o corte de Dedekind que representa o número racional
. O conteúdo aqui é a teoria de cortes de Dedekind para construir os números reais a partir de subsets de
. Para resolver, precisamos usar a definição de corte: particionar
em dois conjuntos
e
tais que todos os elementos de
são menores que o número-alvo e todos de
são maiores ou iguais.
Passo 2
Um corte de Dedekind é dado por um par
onde
e
para um dado real . No nosso caso,
.
para um dado real
Passo 3
Descrevemos o conjunto inferior
explicitamente:
Para evitar a divisão dentro da condição, podemos caracterizar
(com
) por
Passo 4
O conjunto superior
é simplesmente o complemento de
em
, ou seja:
Passo 5
Portanto, o corte de Dedekind que define
é o par
com as condições acima, satisfazendo que todo elemento de
é estritamente menor que
e todo de
é maior ou igual a
.
Resposta
O corte de Dedekind que define
é dado por:
A = {q \in \mathbb{Q}: q < 5/7} e B = {q \in \mathbb{Q}: q \ge 5/7}.
A = {q \in \mathbb{Q}: q < 5/7} e B = {q \in \mathbb{Q}: q \ge 5/7}.