Qual o corte de Dedekind que define 5 / 7?

Passo 1

O enunciado pede para descrever o corte de Dedekind que representa o número racional 5/7. O conteúdo aqui é a teoria de cortes de Dedekind para construir os números reais a partir de subsets de Q. Para resolver, precisamos usar a definição de corte: particionar Q em dois conjuntos A e B tais que todos os elementos de A são menores que o número-alvo e todos de B são maiores ou iguais.

Passo 2

Um corte de Dedekind é dado por um par (A,B) onde
A = q in Q : q < r e
B = q in Q : q >= r
para um dado real r. No nosso caso, r = 5/7.

Passo 3

Descrevemos o conjunto inferior A explicitamente:
A = q in Q : q < 5/7
Para evitar a divisão dentro da condição, podemos caracterizar q = m/n (com n>0) por
q < 5/7 Long<=ftrightarrow mn<57 Long<=ftrightarrow 7m<5n

Passo 4

O conjunto superior B é simplesmente o complemento de A em Q, ou seja:
B = q in Q : q >= 5/7

Passo 5

Portanto, o corte de Dedekind que define 5/7 é o par (A,B) com as condições acima, satisfazendo que todo elemento de A é estritamente menor que 5/7 e todo de B é maior ou igual a 5/7.

Resposta

O corte de Dedekind que define 5/7 é dado por:
A = {q \in \mathbb{Q}: q < 5/7} e B = {q \in \mathbb{Q}: q \ge 5/7}.

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