f(x)=e^x^2+a x+b e g(x)=ln (a x3 b)
em que a e b são números reais. Se f(-1)=1=f(-2), então pode-se afirmar sobre a função composta (g circ f)(x) que:

Passo 1

Temos as funções f e g definidas por
f(x)=e^x^2+ax+b,
g(x)= lngl(ax3bgr)
O enunciado informa que f(−1)=1=f(−2), e queremos entender o comportamento de (g\circ f)(x). Vamos precisar usar condições para achar a e b, depois montar a composição, simplificar e estudar monotonicidade e injetividade.

Passo 2

Impondo f(−1)=1 temos
f(−1)=e^(-1)^2+a(-1)+b=1
Então
1 - a + b = 0 Rightarrow b = a - 1
Impondo f(−2)=1 temos
f(−2)=e^(-2)^2+a(-2)+b=1
Logo
4 - 2a + b = 0 Rightarrow b = 2a - 4
Igualando as duas expressões de b:
a - 1 = 2a - 4 Rightarrow a = 3, b = 3 - 1 = 2

Passo 3

Substituindo a=3 e b=2 em f e g ja definidas, obtemos
f(x)=e^x^2+3x+2,
g(x)=lngl(3x3cdot2gr)=lnl(x2r)
A composição é
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=lnl(tfracf(x)2r)=lnl(e^x^2+3x+2/2r)

Passo 4

Usando logaritmo de exponencial, simplificamos:
(gcirc f)(x)=x^2+3x+2-ln2
Isto é uma função quadrática mais constante. Seu domínio é R (já que f(x)>0 sempre) e o gráfico é um parabola com coeficiente de x² positivo.

Passo 5

Para estudar monotonicidade e injetividade, derivamos:
ddx(gcirc f)(x)=2x+3
O zero acontece em x=−3/2. Logo a função é decrescente em (−∞,−3/2) e crescente em (−3/2,∞). Isso mostra que não é estritamente monotônica nem injetora em todo R. Além disso, o valor mínimo ocorre em x=−3/2 e vale
(gcirc f)(-3/2)=l(-tfrac32r)^2+3l(-tfrac32r)+2-ln2=-tfrac14-ln2

Passo 6

Portanto, (g\circ f)(x) não é injetora, é decrescente até x=−3/2 e crescente depois, e seu conjunto imagem é
[-tfrac14-ln2,,+infty)

Resposta

(g\circ f)(x)=x^{2}+3x+2-\ln2; não é injetora; decrescente em (-\infty, -3/2) e crescente em (-3/2, \infty); imagem = [-1/4 - \ln2, +\infty).

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