em que
e
são números reais. Se
, então pode-se afirmar sobre a função composta
que:
Passo 1
Temos as funções f e g definidas por
O enunciado informa que f(−1)=1=f(−2), e queremos entender o comportamento de (g\circ f)(x). Vamos precisar usar condições para achar a e b, depois montar a composição, simplificar e estudar monotonicidade e injetividade.
Passo 2
Impondo f(−1)=1 temos
Então
Impondo f(−2)=1 temos
Logo
Igualando as duas expressões de b:
Passo 3
Substituindo a=3 e b=2 em f e g ja definidas, obtemos
A composição é
Passo 4
Usando logaritmo de exponencial, simplificamos:
Isto é uma função quadrática mais constante. Seu domínio é
(já que f(x)>0 sempre) e o gráfico é um parabola com coeficiente de x² positivo.
Passo 5
Para estudar monotonicidade e injetividade, derivamos:
O zero acontece em x=−3/2. Logo a função é decrescente em (−∞,−3/2) e crescente em (−3/2,∞). Isso mostra que não é estritamente monotônica nem injetora em todo
. Além disso, o valor mínimo ocorre em x=−3/2 e vale
Passo 6
Portanto, (g\circ f)(x) não é injetora, é decrescente até x=−3/2 e crescente depois, e seu conjunto imagem é
Resposta
(g\circ f)(x)=x^{2}+3x+2-\ln2; não é injetora; decrescente em (-\infty, -3/2) e crescente em (-3/2, \infty); imagem = [-1/4 - \ln2, +\infty).