Calcule integralA B(x^2-2 x y) d x+(2 x y+y^2) d y, onde A B é o arco da parábola y=x^2 do ponto A(1,1) ao ponto B(2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntas! A questão nos pede para calcular a integral de $ \int_{AB}\left(x^{2}-2 x y\right) dx + \left(2 x y + y^{2}\right) dy$, onde integralAB(x^2-2 x y) dx + (2 x y + y^2) dy é o trajeto da parábola AB do ponto y = x^2 ao ponto A(1,1). Para isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva AB. Como a curva é a parábola y = x^2, podemos usar o próprio x como nosso parâmetro. Vamos definir x = t, onde t varia de 1 a 2 (já que vamos do ponto A(1,1) ao ponto B(2,4)). Assim, a parametrização fica:
x = t y = t^2
onde t varia de 1 a 2.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx e dy em termos de dt. Derivando x = t em relação a t, temos:
dx = dt
E derivando y = t^2 em relação a t, temos:
dy = 2t , dt

Passo 4

Substituímos as expressões de x, y, dx e dy na integral original:
integral1^2 ( t^2 - 2t cdot t^2 ) dt + ( 2t cdot t^2 + (t^2)^2 ) cdot 2t , dt

Passo 5

Vamos simplificar os termos dentro da integral:
( t^2 - 2t^3 ) dt + ( 2t^3 + t^4 ) cdot 2t , dt = ( t^2 - 2t^3 ) dt + ( 2t^3 + t^4 ) 2t , dt
Multiplicando os termos:
= ( t^2 - 2t^3 ) dt + ( 4t^4 + 2t^5 ) dt

Passo 6

Agora, combinamos os termos semelhantes:
(t^2 - 2t^3 + 4t^4 + 2t^5) dt
Isso simplifica para:
2t^5 + 4t^4 - 2t^3 + t^2 , dt

Passo 7

Agora, integramos termo a termo em relação a t de 1 a 2:
integral1^2 ( 2t^5 + 4t^4 - 2t^3 + t^2 ) dt = 2 integral1^2 t^5 dt + 4 integral1^2 t^4 dt - 2 integral1^2 t^3 dt + integral1^2 t^2 dt

Passo 8

Calculamos cada integral separadamente:
2 [ t^66 ]1^2 + 4 [ t^55 ]1^2 - 2 [ t^44 ]1^2 + [ t^33 ]1^2
Simplificando:
26 (2^6 - 1^6) + 45 (2^5 - 1^5) - 24 (2^4 - 1^4) + 13 (2^3 - 1^3)

Passo 9

Calculamos as potências:
26 (64 - 1) + 45 (32 - 1) - 24 (16 - 1) + 13 (8 - 1)
Simplificando:
26 times 63 + 45 times 31 - 24 times 15 + 13 times 7

Passo 10

Fazendo as multiplicações:
1266 + 1245 - 304 + 73 = 21 + 24.8 - 7.5 + 23
Somando tudo:
21 + 24.8 = 45.8 45.8 - 7.5 = 38.3 38.3 + 23 approx 40.6

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 40.6.

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