Calcule
, onde
é o arco da parábola
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntas! A questão nos pede para calcular a integral de $ \int_{AB}\left(x^{2}-2 x y\right) dx + \left(2 x y + y^{2}\right) dy$, onde
é o trajeto da parábola
do ponto
ao ponto
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como a curva é a parábola
, podemos usar o próprio
como nosso parâmetro. Vamos definir
, onde
varia de 1 a 2 (já que vamos do ponto
ao ponto
). Assim, a parametrização fica:
onde
varia de 1 a 2.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
E derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos as expressões de
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos dentro da integral:
Multiplicando os termos:
Passo 6
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo em relação a
de 1 a 2:
Passo 8
Calculamos cada integral separadamente:
Simplificando:
Passo 9
Calculamos as potências:
Simplificando:
Passo 10
Fazendo as multiplicações:
Somando tudo:
Resposta
O valor da integral é aproximadamente
.