Calcule 
 , onde 
  é o arco da parábola 
  do ponto 
  ao ponto 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntas! A questão nos pede para calcular a integral de $ \int_{AB}\left(x^{2}-2 x y\right) dx + \left(2 x y + y^{2}\right) dy$, onde 
  é o trajeto da parábola 
  do ponto 
  ao ponto 
 . Para isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva 
 . Como a curva é a parábola 
 , podemos usar o próprio 
  como nosso parâmetro. Vamos definir 
 , onde 
  varia de 1 a 2 (já que vamos do ponto 
  ao ponto 
 ). Assim, a parametrização fica:
onde 
  varia de 1 a 2.
Passo 3
Agora, precisamos expressar 
  e 
  em termos de 
 . Derivando 
  em relação a 
 , temos:
E derivando 
  em relação a 
 , temos:
Passo 4
Substituímos as expressões de 
 , 
 , 
  e 
  na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos dentro da integral:
Multiplicando os termos:
Passo 6
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo em relação a 
  de 1 a 2:
Passo 8
Calculamos cada integral separadamente:
Simplificando:
Passo 9
Calculamos as potências:
Simplificando:
Passo 10
Fazendo as multiplicações:
Somando tudo:
Resposta
O valor da integral é aproximadamente 
 .