Resolva as equações:
d yd x=2 x^2+5 y^22 x y

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO dydx=2x^2+5y^22xy. Isso é uma equação homogênea de grau zero (numerador e denominador têm mesmo grau em x,y), então vamos usar a substituição y=u x.

Passo 2

Definindo y = u x, temos que a derivada dy/dx vira
dydx = u + xdudx
Isso vem da regra do produto, pois y(x) = u(x),x.

Passo 3

Substituindo na EDO original:
u + xdudx = 2x^2 + 5(u x)^22x,(u x) = 2x^2 + 5u^2x^22u x^2 = 2+5u^22u
Aí isolamos x,du/dx:
xdudx = 2+5u^22u - u = 2+5u^2 -2u^22u = 2+3u^22u

Passo 4

Agora separamos variáveis:
2u2+3u^2,du = dxx
Explico a teoria: sempre que a EDO fica nessa forma "função de u vezes du = função de x vezes dx", podemos integrar cada lado.

Passo 5

Vamos integrar:
integral 2u2+3u^2,du = integral dxx
Fazendo a substituição interna t = 2+3u^2
13ln|2+3u^2| = ln|x| + C
Multiplicando tudo por 3 e exponenciando, obtemos
2 + 3u^2 = C,x^3

Passo 6

Voltando para y: u = y/x. Então
2 + 3y^2x^2 = C,x^3
Multiplicando por x^2:
2x^2 + 3y^2 = C,x^5,
que é a solução geral implícita da EDO.

Resposta

2x^2 + 3y^2 = C x^5

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