Calcule integralC(2 a-y) d x+x d y, onde C é primeiro arco da cicloide x= a(t-sen t), y=a(1-cos t), percorrido no sentido de crescimento do parâmetro t.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralC(2 a - y) dx + x dy, onde C é o primeiro arco da cicloide dada por x = a(t - sin t) e y = a(1 - cos t). Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha no plano, especialmente aplicando parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A cicloide é dada por:
x = a(t - sin t)
y = a(1 - cos t)
Aqui, o parâmetro t varia de 0 a 2pi para traçar o primeiro arco completo da cicloide.

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx e dy em termos de dt. Derivando as expressões de x e y em relação a t:
dx = ddt[a(t - sin t)] dt = a(1 - cos t) dt
dy = ddt[a(1 - cos t)] dt = a sin t , dt

Passo 4

Substituímos x, y, dx e dy na integral original:
integralC(2 a - y) dx + x dy = integral0^2pi [ (2a - a(1 - cos t)) cdot a(1 - cos t) + a(t - sin t) cdot a sin t ] dt

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
2a - a(1 - cos t) = a(1 + cos t)
Então, a integral fica:
integral0^2pi [ a(1 + cos t) cdot a(1 - cos t) + a(t - sin t) cdot a sin t ] dt
= a^2 integral0^2pi [ (1 + cos t)(1 - cos t) + (t - sin t)sin t ] dt
= a^2 integral0^2pi [ 1 - cos^2 t + t sin t - sin^2 t ] dt

Passo 6

Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
  1. integral0^2pi (1 - cos^2 t) dt = integral0^2pi sin^2 t dt = pi
  2. integral0^2pi t sin t dt = [ -t cos t + sin t ]0^2pi = -2pi cos(2pi) + sin(2pi) - [0 + 0] = -2pi(1) + 0 = -2pi
  3. integral0^2pi sin^2 t dt = pi

Passo 7

Somando as partes resolvidas:
pi + (-2pi) - pi = -2pi
Multiplicando pelo a^2:
a^2 cdot (-2pi) = -2 a^2 pi

Resposta

O valor da integral é -2 a^2 pi.

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