Calcule
, onde
é primeiro arco da cicloide
, percorrido no sentido de crescimento do parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
, onde
é o primeiro arco da cicloide dada por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha no plano, especialmente aplicando parametrizações de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A cicloide é dada por:
Aqui, o parâmetro
varia de
a
para traçar o primeiro arco completo da cicloide.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
em termos de
. Derivando as expressões de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
Passo 7
Somando as partes resolvidas:
Multiplicando pelo
:
Resposta
O valor da integral é
.