Achar o comprimento do arco da linha helicoidal cônica
desde o ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o comprimento de um arco de uma linha helicoidal cônica definida por:
Começamos identificando que estamos trabalhando com cálculo de comprimento de arco em geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas e entender um pouco sobre derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva parametrizada por $ t $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dx}{dt} $, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dz}{dt} $ são as derivadas das coordenadas em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos calcular agora as derivadas de $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ em relação a $ t $.
Para $ x(t) = a e^{t} \cos t $:
Para $ y(t) = a e^{t} \sin t $:
Para $ z(t) = a e^{t} $:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Expandindo os termos quadrados:
Somando os termos semelhantes:
Usando a identidade $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $:
Passo 6
Agora, a expressão para o comprimento de arco fica:
Simplificando a raiz:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Portanto:
Passo 8
Agora, precisamos determinar os valores de $ t_1 $ e $ t_2 $ correspondentes aos pontos $ O(0,0,0) $ e $ A(a,0,a) $.
Para o ponto $ A(a,0,a) $:
Podemos ver que quando $ t = 0 $:
Então, $ t_2 = 0 $.
Para o ponto $ O(0,0,0) $, precisamos que $ e^{t} $ tenda a zero, o que acontece quando $ t $ tende a $ -\infty $.
Então, $ t_1 = -\infty $.
Então, $ t_1 = -\infty $.
Passo 9
Substituindo $ t_1 = -\infty $ e $ t_2 = 0 $ na expressão do comprimento de arco:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $ e $ e^{-\infty} = 0 $, então:
Resposta
O comprimento do arco é $ L = a \sqrt{3} $.