Achar o comprimento do arco da linha helicoidal cônica x=a e^t cos t, y= a e^t sen t, z=a e^t desde o ponto O(0,0,0) até o ponto A(a, 0, a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o comprimento de um arco de uma linha helicoidal cônica definida por:
x = a e^t cos t
y = a e^t sin t
z = a e^t
Começamos identificando que estamos trabalhando com cálculo de comprimento de arco em geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas e entender um pouco sobre derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva parametrizada por $ t $. A fórmula é:
t
Aqui, $ \frac{dx}{dt} $, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dz}{dt} $ são as derivadas das coordenadas em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos calcular agora as derivadas de $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ em relação a $ t $.
Para $ x(t) = a e^{t} \cos t $:
x(t)
Para $ y(t) = a e^{t} \sin t $:
y(t)
Para $ z(t) = a e^{t} $:
z(t)

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integralt1^t2 raiz[a e^t (cos t - sin t)]^2 + [a e^t (sin t + cos t)]^2 + (a e^t)^2 , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
[a e^t (cos t - sin t)]^2 + [a e^t (sin t + cos t)]^2 + (a e^t)^2
= a^2 e^2t (cos t - sin t)^2 + a^2 e^2t (sin t + cos t)^2 + a^2 e^2t
Expandindo os termos quadrados:
= a^2 e^2t (cos^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t) + a^2 e^2t (sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t) + a^2 e^2t
Somando os termos semelhantes:
= a^2 e^2t ( cos^2 t + sin^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t + cos^2 t + 2 sin t cos t ) + a^2 e^2t
= a^2 e^2t (2 cos^2 t + 2 sin^2 t) + a^2 e^2t
Usando a identidade $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $:
cos^2 t + sin^2 t = 1
= a^2 e^2t (2 times 1) + a^2 e^2t
= 2 a^2 e^2t + a^2 e^2t

Passo 6

Agora, a expressão para o comprimento de arco fica:
L = integralt1^t2 raiz3 a^2 e^2t , dt
Simplificando a raiz:
L = integralt1^t2 a e^t raiz3 , dt
L = a raiz3 integralt1^t2 e^t , dt

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral e^t , dt = e^t + C
Portanto:
L = a raiz3 [ e^t ]t1^t2
L = a raiz3 (e^t2 - e^t1)

Passo 8

Agora, precisamos determinar os valores de $ t_1 $ e $ t_2 $ correspondentes aos pontos $ O(0,0,0) $ e $ A(a,0,a) $.
Para o ponto $ A(a,0,a) $:
t1
t2
O(0,0,0)
Podemos ver que quando $ t = 0 $:
A(a,0,a)
A(a,0,a)
x = a e^t cos t = a
Então, $ t_2 = 0 $.
Para o ponto $ O(0,0,0) $, precisamos que $ e^{t} $ tenda a zero, o que acontece quando $ t $ tende a $ -\infty $.
Então, $ t_1 = -\infty $.

Passo 9

Substituindo $ t_1 = -\infty $ e $ t_2 = 0 $ na expressão do comprimento de arco:
t1 = -infty
Sabemos que $ e^{0} = 1 $ e $ e^{-\infty} = 0 $, então:
t2 = 0
L = a raiz3 (e^0 - e^-infty)

Resposta

O comprimento do arco é $ L = a \sqrt{3} $.

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