Calcule integralalpha F cdot d r, onde:
F(x, y)=(-y^33 sen(x)+e^x, y^2 cos (x)+1+y) e alpha(t)=(sen(t), tpi), t in[0,2 pi]

Passo 1

Resumo da questão: Precisamos calcular a integral de linha integralalpha vec Fcdot dvec r para o campo vec F(x,y)=l(-tfracy^33sin x + e^x,;y^2cos x +1+yr) sobre a curva alpha(t)=(sin t,,t/pi), tin[0,2pi]. O conteúdo é campos conservativos e potencial, e vamos usar o Teorema Fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Para ver se o campo é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
P(x,y)=-tfracy^33sin x + e^x, então
partial Ppartial y=-y^2sin x
Q(x,y)=y^2cos x +1+y, então
partial Qpartial x=-y^2sin x

Passo 3

Como partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo num domínio simplesmente conectado.

Passo 4

Procuramos uma função potencial f(x,y) tal que partial f/partial x = P e partial f/partial y = Q. Integramos P em relação a x:
f(x,y)=integrall(-tfracy^33sin x + e^xr)dx = y^33cos x + e^x + g(y), onde g(y) é função a determinar. Diferenciando f em relação a y e igualando a Q:
partial fpartial y=y^2cos x + g'(y) stackrel!= y^2cos x +1+y, logo g'(y)=1+y e g(y)=y + y^22 + C Assim o potencial fica
f(x,y)=y^33cos x + e^x + y + y^22

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental,
integralalphavec Fcdot dvec r = fl(alpha(2pi)r)-fl(alpha(0)r)

Passo 6

Calculamos os pontos inicial e final:
alpha(0)=(0,0) e alpha(2pi)=(0,2). Avaliam-se os potenciais:
f(0,2)=2^33cdot1 + e^0 +2 + 2^22 = 83+1+2+2 = 233,
f(0,0)=0+e^0+0+0=1 Portanto a integral vale
233-1=203

Resposta

20/3

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