Calcule a integral
onde
é a parte do gráfico da parábola
no
quadrante, orientado no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
P(x,y)=\frac{x}{x2+y2}-2x e Q(x,y)=\frac{y}{x2+y2}+\ln(y+2),\no caminho dado pela parábola
no 2º quadrante, orientado no sentido horário. O conteúdo é integral de campos vetoriais e vamos precisar usar o conceito de forma exata e função potencial.
P(x,y)=\frac{x}{x2+y2}-2x e Q(x,y)=\frac{y}{x2+y2}+\ln(y+2),\no caminho
Passo 2
Verificamos se a forma
é exata, isto é, checamos se
Calculando:
Como batem, a forma é exata em qualquer região sem
e
, e nosso arco não cruza essas singularidades.
Passo 3
Para achar a potencial
tal que
integrar em relação a
$$
\phi(x,y) = \int \Bigl(\frac{x}{x2+y2}-2x\Bigr)dx
= \frac12\ln(x2+y2) - x^2 + h(y).
= \frac12\ln(x2+y2) - x^2 + h(y).
\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{y}{x2+y2} + h’(y) = \frac{y}{x2+y2} + \ln(y+2)
h(y)=\int \ln(y+2),dy = (y+2)\ln(y+2)-(y+2).
\phi(x,y)=\frac12\ln(x2+y2)-x^2+(y+2)\ln(y+2)-(y+2)+C.
$$
Passo 4
Precisamos agora dos extremos do arco com orientação horário. No 2º quadrante o arco vai de
até
quando percorrido no sentido horário. Assim o ponto inicial é
e final é
.
Passo 5
O valor da integral é
Calculando:
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