Calcule a integral
integralgamma(xx^2+y^2-2 x) d x+(yx^2+y^2+ln (y+2)) d y
onde gamma é a parte do gráfico da parábola y=4-x^2 no 2^circ quadrante, orientado no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgamma P,dx + Q,dy onde
P(x,y)=\frac{x}{x2+y2}-2x e Q(x,y)=\frac{y}{x2+y2}+\ln(y+2),\no caminho gamma dado pela parábola y=4-x^2 no 2º quadrante, orientado no sentido horário. O conteúdo é integral de campos vetoriais e vamos precisar usar o conceito de forma exata e função potencial.

Passo 2

Verificamos se a forma P,dx+Q,dy é exata, isto é, checamos se
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Calculando:
partial Ppartial y = partialpartial yl(xx^2+y^2-2xr) = -2xy(x^2+y^2)^2,
partial Qpartial x = partialpartial xl(yx^2+y^2+ln(y+2)r) = -2xy(x^2+y^2)^2
Como batem, a forma é exata em qualquer região sem x^2+y^2=0 e y=-2, e nosso arco não cruza essas singularidades.

Passo 3

Para achar a potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = P, partial phipartial y = Q,
integrar em relação a x:
$$
\phi(x,y) = \int \Bigl(\frac{x}{x2+y2}-2x\Bigr)dx
= \frac12\ln(x2+y2) - x^2 + h(y).
phi(x,y) = integral l(xx^2+y^2-2xr)dx = 12ln(x^2+y^2) - x^2 + h(y)
\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{y}{x2+y2} + h’(y) = \frac{y}{x2+y2} + \ln(y+2)
y
h(y)=\int \ln(y+2),dy = (y+2)\ln(y+2)-(y+2).
Q
\phi(x,y)=\frac12\ln(x2+y2)-x^2+(y+2)\ln(y+2)-(y+2)+C.
$$

Passo 4

Precisamos agora dos extremos do arco com orientação horário. No 2º quadrante o arco vai de (0,4) até (-2,0) quando percorrido no sentido horário. Assim o ponto inicial é S=(0,4) e final é E=(-2,0).

Passo 5

O valor da integral é
integralgammaP,dx+Q,dy=phi(E)-phi(S)
Calculando:
phi(-2,0)=tfrac12ln(4)-4+2ln2-2 =3ln2-6+C,
phi(0,4)=tfrac12ln(16)+6ln6-6 =2ln2+6ln6-6+C
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phi(E)-phi(S)=(3ln2-6)-(2ln2+6ln6-6)=ln2-6ln6

Resposta

ln2 -6ln6

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