Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem d z d y d x:
integral0^1 integral0^y integralraizx^2+y^2^1 f(x, y, z) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever uma integral tripla na ordem $ dz, dy, dx $. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles mudam quando alteramos a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem atual das integrais e seus limites. A integral dada é:
integral0^1 integral0^y integralraizx^2+y^2^1 f(x, y, z), dz, dx, dy
Aqui, a ordem de integração é $ dz $, depois $ dx $, e por último $ dy $.

Passo 3

Nosso objetivo é mudar a ordem para $ dz, dy, dx $. Para isso, precisamos entender os limites de cada variável em relação às outras.
  • $ y $ varia de $ 0 $ a $ 1 $.
  • Para um dado $ y $, $ x $ varia de $ 0 $ a $ y $.
  • Para dados $ x $ e $ y $, $ z $ varia de $ \sqrt{x{2}+y{2}} $ a $ 1 $.

Passo 4

Vamos visualizar o domínio de integração. Considerando que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, queremos expressar $ y $ em termos de $ z $ e $ x $ para ajustar os limites na nova ordem.
Dado que $ z \geq \sqrt{x{2}+y{2}} $, podemos reescrever essa desigualdade para encontrar $ y $:
z

Passo 5

Agora, determinamos os novos limites:
  • $ x $ ainda varia de $ 0 $ a $ 1 $, já que não depende de $ y $ ou $ z $.
  • Para cada $ x $, $ z $ varia de $ x $ (quando $ y = 0 $) até $ 1 $.
  • Para cada $ x $ e $ z $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{z^{2} - x^{2}} $.

Passo 6

Com os novos limites definidos, podemos reescrever a integral na ordem $ dz, dy, dx $:
dz, dy, dx

Resposta

A integral reescrita na ordem $ dz, dy, dx $ fica:
dz, dy, dx

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