Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever uma integral tripla na ordem $ dz, dy, dx $. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles mudam quando alteramos a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem atual das integrais e seus limites. A integral dada é:
Aqui, a ordem de integração é $ dz $, depois $ dx $, e por último $ dy $.
Passo 3
Nosso objetivo é mudar a ordem para $ dz, dy, dx $. Para isso, precisamos entender os limites de cada variável em relação às outras.
- $ y $ varia de $ 0 $ a $ 1 $.
- Para um dado $ y $, $ x $ varia de $ 0 $ a $ y $.
- Para dados $ x $ e $ y $, $ z $ varia de $ \sqrt{x{2}+y{2}} $ a $ 1 $.
Passo 4
Vamos visualizar o domínio de integração. Considerando que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, queremos expressar $ y $ em termos de $ z $ e $ x $ para ajustar os limites na nova ordem.
Dado que $ z \geq \sqrt{x{2}+y{2}} $, podemos reescrever essa desigualdade para encontrar $ y $:
Passo 5
Agora, determinamos os novos limites:
- $ x $ ainda varia de $ 0 $ a $ 1 $, já que não depende de $ y $ ou $ z $.
- Para cada $ x $, $ z $ varia de $ x $ (quando $ y = 0 $) até $ 1 $.
- Para cada $ x $ e $ z $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{z^{2} - x^{2}} $.
Passo 6
Com os novos limites definidos, podemos reescrever a integral na ordem $ dz, dy, dx $:
Resposta
A integral reescrita na ordem $ dz, dy, dx $ fica: