Mostre que o campo F(x, y)=(cos x cos y-y,-sen x sen y-x) é conservativo e calcule integralgamma F cdot d r, onde gamma(t)=(t^2, t^3) com -1 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(cos xcos y - y,,-sin xsin y - x) é conservativo e em seguida calcular a integral de linha integralgammavec Fcdot dvec r sobre a curva gamma(t)=(t^2,t^3), -1<= t<=1. Vamos usar o critério de campo conservativo em R^2 (domínio simplesmente conexo) que diz que basta verificar se partial P/partial y=partial Q/partial x e depois encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais para checar o critério de conservatividade. De P(x,y)=cos xcos y - y temos
partial Ppartial y=partialpartial y(cos xcos y)-partialpartial y(y)=-cos xsin y-1
De Q(x,y)=-sin xsin y - x obtemos
partial Qpartial x= -cos xsin y -1

Passo 3

Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo em R^2.

Passo 4

Para encontrar a função potencial phi(x,y) tal que phix=P e phiy=Q, fazemos
phi(x,y)=integral P(x,y),dx=integral(cos xcos y - y),dx=sin xcos y - xy + h(y),onde h(y) é função a determinar. Agora impomos phiy=Q:
phiy= -sin xsin y - x + h'(y)stackrel!= -sin xsin y - x

Passo 5

Daí h'(y)=0, logo h(y)=C, que podemos tomar como zero. Assim
phi(x,y)=sin xcos y - xy

Passo 6

Pelo teorema fundamental da integral de linha em campos conservativos, temos
integralgammavec Fcdot dvec r=phi(gamma(1)) - phi(gamma(-1))

Passo 7

Como gamma(1)=(1,1) e gamma(-1)=(1,-1), calculamos
phi(1,1)=sin1cos1 -1cdot1=sin1cos1 -1, phi(1,-1)=sin1cos(-1) -1cdot(-1)=sin1cos1 +1

Passo 8

Logo
integralgammavec Fcdot dvec r=(sin1cos1 -1)-(sin1cos1 +1)=-2

Resposta

-2

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