Mostre que o campo
é conservativo e calcule
, onde
com
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo e em seguida calcular a integral de linha
sobre a curva
,
. Vamos usar o critério de campo conservativo em
(domínio simplesmente conexo) que diz que basta verificar se
e depois encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais para checar o critério de conservatividade. De
temos
De
Passo 3
Como
, o campo é conservativo em
.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
tal que
e
, fazemos
Passo 5
Daí
, logo
, que podemos tomar como zero. Assim
Passo 6
Pelo teorema fundamental da integral de linha em campos conservativos, temos
Passo 7
Como
e
, calculamos
Passo 8
Logo
Resposta
-2