Calcule integralC 10(z+i)^4, em que C=z | z+i mid=1 está orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integralC 10(z+i)^4 dz. O enunciado nos diz que C é um círculo com centro em -i e raio 1, orientado no sentido anti-horário. Vamos utilizar conceitos de Cálculo de Contornos e Fórmula de Cauchy para Derivadas para resolver isso. Precisaremos entender como aplicar a fórmula de Cauchy para integrais que envolvem potências de (z - a) no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada. Aqui, temos 10(z+i)^4. Podemos reescrever isso como 10(z - (-i))^4. Isso ajuda a ver que a = -i na Fórmula de Cauchy.

Passo 3

A Fórmula de Cauchy para derivadas gerais diz que:
integralC f(z)(z - a)^n dz = 2pi i(n-1)! f^(n-1)(a)
onde f(z) é uma função analítica dentro e sobre o contorno C, a está dentro de C, e n é um inteiro positivo.

Passo 4

No nosso caso, f(z) = 10, que é uma função constante e, portanto, analítica em todo lugar. O ponto a = -i está exatamente no centro do nosso círculo C, então está dentro do contorno.

Passo 5

Vamos identificar n. Na nossa integral, o denominador é (z - a)^4, então n = 4. Agora, precisamos calcular a (n-1)-ésima derivada de f(z) em a, ou seja, a terceira derivada de f(z) em -i.

Passo 6

Calculando as derivadas:
f(z) = 10 f'(z) = 0 f''(z) = 0 f'''(z) = 0
Como f(z) é constante, todas as derivadas de ordem superior são zero.

Passo 7

Aplicando os valores na Fórmula de Cauchy:
integralC 10(z+i)^4 dz = 2pi i(4-1)! cdot 0 = 2pi i6 cdot 0 = 0

Resposta

A integral vale 0.

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