Calcule
, em que
está orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. O enunciado nos diz que
é um círculo com centro em
e raio
, orientado no sentido anti-horário. Vamos utilizar conceitos de Cálculo de Contornos e Fórmula de Cauchy para Derivadas para resolver isso. Precisaremos entender como aplicar a fórmula de Cauchy para integrais que envolvem potências de
no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada. Aqui, temos
. Podemos reescrever isso como
. Isso ajuda a ver que
na Fórmula de Cauchy.
Passo 3
A Fórmula de Cauchy para derivadas gerais diz que:
onde
é uma função analítica dentro e sobre o contorno
,
está dentro de
, e
é um inteiro positivo.
Passo 4
No nosso caso,
, que é uma função constante e, portanto, analítica em todo lugar. O ponto
está exatamente no centro do nosso círculo
, então está dentro do contorno.
Passo 5
Vamos identificar
. Na nossa integral, o denominador é
, então
. Agora, precisamos calcular a
-ésima derivada de
em
, ou seja, a terceira derivada de
em
.
Passo 6
Calculando as derivadas:
Como
é constante, todas as derivadas de ordem superior são zero.
Passo 7
Aplicando os valores na Fórmula de Cauchy:
Resposta
A integral vale 0.