Exercício 0.2 Calcule a derivada das seguintes funções utilizando sua definição:
f(x)=2 x^2+1; em x0=1.

Passo 1

A questão pede a derivada de f(x)=2x²+1 no ponto x₀=1 usando a definição de derivada. O conteúdo é derivada como limite do quociente incremental e vamos precisar aplicar esse conceito passo a passo.

Passo 2

A definição de derivada em x₀ é dada por
f'(x₀)=limhto0f(x₀+h)-f(x₀)h
Aqui x₀=1, então precisamos calcular f(1+h) e f(1).

Passo 3

Calculando f(1+h):
f(1+h)=2(1+h)^2+1=2(1+2h+h^2)+1=3+4h+2h^2
E f(1)=2·1²+1=3. Portanto o quociente fica
f(1+h)-f(1)h=(3+4h+2h^2)-3h=4h+2h^2h=4+2h

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando h→0:
limhto0(4+2h)=4

Passo 5

Concluímos que a derivada de f no ponto x₀=1 é 4.

Resposta

f’(1)=4

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