Calcule integralC 1x^2+y^2+z^2 d s, onde C é a curva dada por gamma(t)=(cos t, sen t, t), com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O exercício pede para calcular uma integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=1x^2+y^2+z^2 sobre a curva C parametrizada por gamma(t)=(cos t,sin t,t) para 0<= t<=2pi. Vamos usar a definição de integral de linha de função escalar em R^3:
integralC f,ds = integrala^b f(gamma(t)),|gamma'(t)|,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada da parametrização e o elemento de comprimento ds:
gamma'(t)=(-sin t,cos t,1)
|gamma'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2=raiz2

Passo 3

Agora substituímos as componentes de gamma(t) em f. Note que
x^2+y^2+z^2=cos^2t+sin^2t+t^2=1+t^2,
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f(gamma(t))=11+t^2

Passo 4

Dessa forma a integral de linha fica
integralC1x^2+y^2+z^2,ds=integral0^2pi11+t^2,raiz2,dt=raiz2integral0^2pidt1+t^2

Passo 5

Como raiz2 é constante, focamos em
integral0^2pidt1+t^2=igl[arctan tr]0^2pi=arctan(2pi) 

Resposta

raiz2,arctan(2pi)

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