Utilize frações parciais para calcular a integral
integral0^1 22 x^2+3 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral0^1 22 x^2+3 x+1 , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Para resolver isso, a gente precisa primeiro fatorar o denominador e depois separar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^2 + 3x + 1. Fatorar significa escrever o polinômio como o produto de dois binômios. Vamos procurar dois números que multiplicados dão 2 times 1 = 2 e que somados dão 3. Esses números são 1 e 2.
Então, 2x^2 + 3x + 1 pode ser fatorado assim:
2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos usar frações parciais para quebrar a fração original em duas partes mais simples. A ideia é escrever:
2(2x + 1)(x + 1) = A2x + 1 + Bx + 1
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (2x + 1)(x + 1) para eliminar os denominadores:
2 = A(x + 1) + B(2x + 1)
Agora, vamos escolher valores de x que simplificam a equação.
Primeiro, se x = -12:
2 = A(-12 + 1) + B(2 times -12 + 1) 2 = A(12) + B(0) A = 4
Segundo, se x = -1:
2 = A(0) + B(2 times -1 + 1) 2 = B(-1) B = -2

Passo 5

Agora que temos A = 4 e B = -2, podemos escrever a fração original como:
2(2x + 1)(x + 1) = 42x + 1 - 2x + 1

Passo 6

Vamos integrar cada parte separadamente:
integral 42x + 1 , dx - integral 2x + 1 , dx
Para integrar 42x + 1, fazemos uma substituição:
  • Deixe u = 2x + 1, então du = 2dx ou dx = du2.
A integral fica:
4 times 12 integral 1u , du = 2 ln|u| = 2 ln|2x + 1|
Para integrar 2x + 1, temos:
2 ln|x + 1|

Passo 7

Agora, juntando as integrais e aplicando os limites de 0 a 1:
2 ln(2x + 1) - 2 ln(x + 1) |0^1
Substituindo os limites:
Para x = 1:
2 ln(3) - 2 ln(2)
Para x = 0:
2 ln(1) - 2 ln(1) = 0
Então, a diferença é:
[2 ln(3) - 2 ln(2)] - 0 = 2 ln(32)

Resposta

O valor da integral é 2 ln(32).

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