Considere a integral iterada
I=integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 z raizx^2+y^2 d z d y d x
Expresse I em coordenadas esféricas (sem calculála).

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral iterada
I=integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 zraizx^2+y^2,dz,dy,dx
em coordenadas esféricas, sem calcular o valor. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais triplas, usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as fórmulas
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
com Jacobiano
,dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
A região é a porção do primeiro octante da esfera de raio 2 (pois x,y,z>=0 e x^2+y^2+z^2<=4), então
0<=theta<=tfracpi2, ;0<=varphi<=tfracpi2, ;0<=rho<=2

Passo 3

O integrando original é
zraizx^2+y^2 =l(rhocosvarphir)l(rhosinvarphir) =rho^2cosvarphisinvarphi
Multiplicando pelo Jacobiano rho^2sinvarphi obtemos
rho^2cosvarphisinvarphicdotrho^2sinvarphi =rho^4cosvarphisin^2varphi

Passo 4

Portanto, em coordenadas esféricas a integral fica
I=integraltheta=0^pi/2integralvarphi=0^pi/2integralrho=0^2 rho^4cosvarphisin^2varphi ,drho,dvarphi,dtheta,
sem precisar calcular o valor final.

Resposta

I=integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^2rho^4cosvarphisin^2varphi,drho,dvarphi,dtheta

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