Mostre que
e use esse resultado para calcular, usando a soma de Riemann,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a soma dos cubos dos números de 0 até $ n $ é igual a $ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} $. Depois, vamos usar esse resultado para calcular a integral de $ x^{3} $ de 0 a 1 usando a soma de Riemann. Para resolver isso, vamos precisar entender somas de potências e o conceito de somas de Riemann, que são usadas para aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que:
Vamos calcular a soma dos cubos de 0 até $ n $:
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Sabemos que a soma dos primeiros $ n $ números é:
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Agora, para a soma dos cubos, temos uma fórmula conhecida que relaciona essa soma com a soma dos números:Ou seja, a soma dos cubos é o quadrado da soma dos números de 1 a $ n $.
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Portanto, incluindo o termo $ i = 0 $:
Passo 3
Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral de $ x^{3} $ de 0 a 1 utilizando a soma de Riemann. A soma de Riemann é uma maneira de aproximar o valor de uma integral dividindo o intervalo em pequenos pedaços e somando as áreas dos retângulos formados.
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Para a função $ f(x) = x^{3} $, dividimos o intervalo [0,1] em $ n $ subintervalos de largura $ \Delta x = \frac{1}{n} $.
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Nos pontos de divisão, temos $ x_i = \frac{i}{n} $ para $ i = 0,1,2,…,n $.
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A soma de Riemann à direita fica:
Passo 4
Usando o resultado que mostramos no Passo 2, substituímos a soma dos cubos:
Agora, para encontrar a integral, tomamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Resposta
A integral de $ x^{3} $ de 0 a 1 é igual a $ \frac{1}{4} $.