Mostre que
sumi=0^n i^3=(n(n+1)2)^2,
e use esse resultado para calcular, usando a soma de Riemann,
integral0^1 x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a soma dos cubos dos números de 0 até $ n $ é igual a $ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} $. Depois, vamos usar esse resultado para calcular a integral de $ x^{3} $ de 0 a 1 usando a soma de Riemann. Para resolver isso, vamos precisar entender somas de potências e o conceito de somas de Riemann, que são usadas para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que:
sumi=0^n i^3 = (n(n+1)2)^2
Vamos calcular a soma dos cubos de 0 até $ n $:
  1. Sabemos que a soma dos primeiros $ n $ números é:
    n
  2. Agora, para a soma dos cubos, temos uma fórmula conhecida que relaciona essa soma com a soma dos números:
    n
    Ou seja, a soma dos cubos é o quadrado da soma dos números de 1 a $ n $.
  3. Portanto, incluindo o termo $ i = 0 $:
    sumi=1^n i = n(n+1)2

Passo 3

Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral de $ x^{3} $ de 0 a 1 utilizando a soma de Riemann. A soma de Riemann é uma maneira de aproximar o valor de uma integral dividindo o intervalo em pequenos pedaços e somando as áreas dos retângulos formados.
  1. Para a função $ f(x) = x^{3} $, dividimos o intervalo [0,1] em $ n $ subintervalos de largura $ \Delta x = \frac{1}{n} $.
  2. Nos pontos de divisão, temos $ x_i = \frac{i}{n} $ para $ i = 0,1,2,…,n $.
  3. A soma de Riemann à direita fica:
    x^3

Passo 4

Usando o resultado que mostramos no Passo 2, substituímos a soma dos cubos:
Sn = 1n^4 (n(n+1)2)^2 = 1n^4 cdot n^2(n+1)^24 = (n+1)^24n^2
Agora, para encontrar a integral, tomamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Resposta

A integral de $ x^{3} $ de 0 a 1 é igual a $ \frac{1}{4} $.

Exercícios relacionados