Calcule
integralC (z-y^2)^2raiz1+4 x^2 y^2 d s
onde C é a curva interseção dos cilindros x^2+y^2=1 e z=x^2.
Escolha uma opção:
  • pi2
    ○ 2
    4 pi
    2 pi
    pi

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha integralC (z - y^2)^2raiz1 + 4x^2y^2,ds, onde C é a curva de interseção dos cilindros x^2 + y^2 = 1 e z = x^2. O conteúdo envolve parametrização de curva no espaço e cálculo de ds.

Passo 2

Para parametrizar C, usamos coordenadas polares no plano xy:
x = costheta, y = sintheta, z = x^2 = cos^2theta,
com theta variando de 0 a 2pi.

Passo 3

Expressamos o numerador da integranda:
z - y^2 = cos^2theta - sin^2theta = cos(2theta),
portanto
(z - y^2)^2 = cos^2(2theta)

Passo 4

Agora calculamos o elemento de arco ds. Temos
dx = -sintheta,dtheta, dy = costheta,dtheta, dz = d(cos^2theta) = -2costhetasintheta,dtheta = -sin(2theta),dtheta
Logo
ds = raiz(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2,= raizsin^2theta + cos^2theta + sin^2(2theta),dtheta = raiz1 + sin^2(2theta),dtheta
Como sin(2theta)=2xy, confirmamos ds = raiz1+4x^2y^2,dtheta.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, o fator raiz1+4x^2y^2 cancela, ficando
integral0^2pi cos^2(2theta)raiz1+4x^2y^2 cdot raiz1+4x^2y^2,dtheta = integral0^2pi cos^2(2theta),dtheta

Passo 6

Para calcular integral0^2pi cos^2(2theta),dtheta, usamos
cos^2(2theta) = 1 + cos(4theta)2
Assim
integral0^2pi cos^2(2theta),dtheta = integral0^2pi 1 + cos(4theta)2,dtheta = [theta2 + sin(4theta)8]0^2pi = pi

Resposta

pi

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