Seja C a curva parametrizada C(t)=(t, 23 t^32) ; t in[0,3] O comprimento de C é
Escolha uma opção:
  • 163
  • 112
    ○ 5
  • 123
  • 143

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada C(t) = (t, (2/3) t^{3/2}) para t ∈ [0,3]. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva parametrizada, usando a fórmula
L = integrala^b raiz(x' (t))^2 + (y'(t))^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas usando regra da potência. Para x(t)=t temos x’(t)=1; para y(t)=(2/3)t^{3/2} aplicamos y’(t)=(2/3)·(3/2)t{1/2}=t{1/2}. Logo
x'(t)=1,
y'(t)=t^1/2

Passo 3

Montamos a integranda do comprimento de arco substituindo as derivadas:
L = integral0^3 raiz(1)^2 + (t^1/2)^2,dt = integral0^3 raiz1 + t,dt

Passo 4

Para calcular integral0^3 raiz1+t,dt fazemos a substituição u=1+t, du=dt. Assim
integral0^3 raiz1+t,dt = integralu=1^4 u^1/2,du = [23u^3/2]1^4 = 23(4^3/2 - 1^3/2) = 23(8-1) = 143

Resposta

143

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